最新考研数学二积分证明题 定积分公式证明(5篇)

考研数学二积分证明题 定积分公式证明篇三

探讨定积分不等式的证明方法

摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。

关键词：定积分

不等式

证法

不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。

1．运用定积分中值定理证明

定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

例1：设f(x)在[0,1]上连续且单调不增，证明a∈[0,1]有

a0f(x)dx≥af(x)dx．

01证明：由原不等式变形得即是要证：(1a)a0f(x)dx≥a（f(x)dxf(x)dx)，0010a1a0f(x)dx≥af(x)dx, 对左式，f(x)在[0,1]上连续，故a由定积分中值定理知：

10，a使

（1a)f(x)dxa(1a)f(1), 0同理对右式：2a，1使a0f(x)dxa(1a)f(2)，1显然，1＜2又f(x)在[0,1]上单调不增，∴f(1)≥f(2)故原不等式a0f(x)dx≥af(x)dx成立.01定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。2．运用辅助函数证明

构造辅助函数f(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求f’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。

例2：设f(x)在[a，b]上连续,且f(x)>0.试证：baf(x)dxba1dx(ba)2 f(x)xxaa证明：构造辅助函数f(x)f(t)dt则f(x)f(x)a

='x1dt(xa)2（将b换成x），f(t)11xdtf(t)dt2(xa)af(t)f(x)xaxf(t)xf(x)dtdt2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)2)dt

=a(f(t)f(x)xf(x)f(t)20，∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)'又a

0，∴f(b)f(a)0，baf(x)dxba1dx(ba)2． f(x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了当。3．运用定积分的性质和几何意义证明

与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何直观使得不等式的证明变得更加简捷。

例３：证明不等式13sinxdx．

ex(1x2)12esinx1，两端积分得：

ex(1x2)e(1x2)证明：因为1x3时

31sinx131dxx221e(1x)e1x12e

a1例４：设a,b1时，证明不等式abe证明：blnblnxdxb1，e1ba1blnb．

a10exdx1，根据定积分的几何意义知：

（a1)blnxdx1ba10exdxblnbea1b，a1abeblnb.即本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来，即求曲边梯形的面积问题推导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几何直观来加以证明。

4．运用拉格朗日中值定理证明

利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等。

m，f(a)0，例5：设f(x)在[a,b]上可导，且f'(x）试证：abf(x)dxm(ba)2.2证明：由题设x[a,b]，f(x)在[a，b]上都满足拉氏中值定理的条件，于是有：

f(x)f(x)f(a)f'()(xa)，(a,x)，m，∵f'(x）∴f(x)m(xa)两边在[a，b]上定积分得：

bamf(x)dxm(ba)dx(ba)2.a2b此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。

5．运用taylor公式证明

当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。

例6：设f(x)在[a,b]上单调增加，且f“(x)＞0，证明

(ba)f(a)＜abf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)

2证明：先证左不等号：(ba)f(a)＜

baf(x)dx，x[a,b]，x＞a，f(x)单调增加，所以f(x)＞f(a)

故baf(x)dx＞(ba)f(a)„（1）再证右不等号：baf(x)dx＜(ba)f(a)f(b)，2t[a,b]，f(t)在点x处的taylor展式为：

f(t)f(x)f'(x)(tx)因

1f”()(tx)2,其中在t与x之间，2!f"()＞0，f(t)＞f(x)f'(x)(tx)，所以将tb,ta分别代入上式并相加得：

f(a)f(b)＞2f(x)(ab)f'(x)2xf(x)，将此式在[a,b]上积分得：

f(a)f(b)(ba)＞2af(x)dx(ab)af'(x)dx2axf(x)dx，有2[f(a)f(b)](ba)＞4故

bbbbaf(x)dx，baf(a)f(b)f(x)dx＜(ba)„（2）

2综合（1）、（2），公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，taylor公式常会给你意想不到的突破。

6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明 柯西—斯瓦兹不等式：

例7：设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数且f(1)f(0)1，试证：0[f'(x)]dx1.证明：∵f(1)f(0)1210f'(x)dx，又f(1)f(0)1，所以0f'(x)dx1，因f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，2dx[f'(x)]dx(f'(x)dx)1，由柯西—斯瓦兹不等式得：00011211即是0[f'(x)]dx1.柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。

7．运用重积分证明

重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。

例8：设f(x)是在[0，1]上单调增加的连续函数，12试证：xf0101xf(x)dx23(x)dx13101f3(x)dxf(x)dx122.1102ixf(x)dxf(x)dxf(x)dxxf证明：设(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdyf(x)f(y)ydxdy

=dd3

=ddf3(x)f2(y)(xy)dxdy„（1）

23if(x)f(y)(yx)dxdy„（2）同样

232i(xy)f(x)f(y)(f(x)f(y))dxdy，（1）+（2）可得d由于f(x)在[0，1]上单调增加，故(x∴i1y)(f(x)f(y))0，131000，从而0xfxf(x)dx2313(x)dxf(x)dxf(x)dxxf2(x)dx

012即xf010(x)dx101f3(x)dxf(x)dx2

0总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。在此，我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。

考研数学二积分证明题 定积分公式证明篇四

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2018考研数学复习重点之定积分解析篇

2018考研数学大纲已发布，对于定积分部分，整体要求没有什么出入，下面主要是根据2017年对定积分这一块的考查，并结合今天出来的2018年考试大纲来给2018的同学们来聊聊，接下来这三个月，我们在2018年的考研备考中所要注意的问题：

首先，我们要结合刚刚出来的2018年考试大纲来明确这一部分的知识体系。

定积分这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分以及定积分的应用这几个部分。这几个部分各有各的侧重点。而其中有关定积分的定义是要求我们掌握的重点，我们要充分理解微积分基本定理以及还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分这一块，会计算简单的反常积分，了解反常积分的概念就好了。

接下来，我们要挖掘考试大纲，以帮助我们更深刻理解这一章的知识点。

一、定积分

关于定积分的定义及性质。这里要求同学们一定要理解分割，近似以及求和还有取极限这几个步骤。与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。对定积分定义这一部分的考察在每年考研中几乎都是必考内容。因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。关于定积分的性质这一块，同学们关键主要在于理解。定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的。而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。这里面有一个新的函数叫做变上限积分函数。关于变上限积分函数的两个性质是我们一定要掌握的。关于切线与法线;以及单调性;极值;凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。有了变上限积分函数的定义后，我们就要注意变限积分求导问题了，有关变上限积分的求导，希望同学们能够会证明，以前考研真题中也出现过此类问题。所以，应当值得我们重视。

二、反常积分

对反常积分这一块内容，要求同学们了解反常积分的基本定义，会利用用定积分来判断其收敛性，会计算反常积分就够了。而关于反常积分的计算，同学们就当作定积分来求就可以了。

最后，就是有关定积分的应用部分了。这一块应用希望童鞋们要掌握住，其主要就是利用微元法在几何上应用，对于数一和数二的同学还要求掌握物理上面的应用。而这里，同学们一定要知道数学一、二、三的区别。数学三的同学要掌握用定积分求面积及简单的体积。而对于数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面面积。而数学一和数学二也要掌握物理方面的应用，这里主要要求数一数二的同学掌握用定积分求变力做功、抽水做功及液太静压力和质心问题。而这里最要的是同学们一定要掌握微元法这种思想方法。

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因此，关于定积分这一块，希望同学们能够结合上篇和下篇的全部内容，来完整的明晰有关定积分的知识。

总之，今天考研大纲刚出来，我们通过对2016年考研大纲的整体分析以及单块知识点的分析，这里我希望同学们能够全面掌握住相关知识点，为三个月后的2016考试做好充足的准备，希望同学们能够学习好定积分这一部分内容，这样可以为以后的高等数学的整体复习打好坚实的基础，最后，还有几个月，希望每个同学都能认认真真的学，希望每一位同学都能考出一个好的成绩。

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考研数学二积分证明题 定积分公式证明篇五

2016考研数学：定积分的证明

定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，是考试的重点内容。启航考研龙腾网校老师希望同学们要加以重视！

定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

③利用微分中值定理、积分中值定理(适用于已知条件中有连续性和一阶可导性)与泰勒公式(适用于题设中有二阶以上可导性)。