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南京农业大学
2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
本试题共 2 页,第 1 页
试题编号：435 试题名称：高等代数
注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效
一（20 分）．设 f(x), g(x)为数域 P 上的多项式，求证：(f(x), g(x))=1 的充要条件是(f(x)g(x),
f(x)+g(x))=1.
二（20 分）．当 xai (i=1, 2, , n)时，计算下列行列式
Dn=
n
axxx
xxax
xxxa
...
.......
.......
.......
...
...
.
2
1
三（20 分）．证明：A 是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是，存在实矩阵 S 使 A=S
T
S。其
中 ST
表示 S 的转置矩阵。
四（20 分）．设 A，B 都是正交矩阵，若A+B=0，证明以下结论：
(1) A+B=A(A
T
+ B
T
)B；
(2) A+B 是降秩矩阵。
五（20 分）．设 f 与 g 是 n 维向量空间 V 中的两个线性变换，而且 f 是幂等的（即 f
2
=f）。求
证：
(1) ker f=x-f(x) xV；
(2) V=ker f Im f ；
(3) 如果 ker f 与 Im f 都是 g 的不变子空间, 则 fg=gf。
六（20 分）．设向量组1，2，，s 线性无关, 1，2，，s，, 线性相关, 而且与
都不能由向量组1，2，，s 线性表示。证明：1，2，，s，与1，2，，s ，
等价。
七（20 分）．设 A 为 n 阶实矩阵，Rn 为实数域 R 上 n 维列向量空间, W=YRn X
T
AY=0, 对
一切 X Rn 均成立, W1=Y Rn AY=0 , 则下列结论成立。
(1) W= W1, 且 W 为 Rn 的子空间；
(2) dim W + R(A)=n。其中 dim W 表示子空间 W 的维数。
八（10 分）．求复数域上矩阵
A=
21200
10100
21200
00010
00041
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