博士生入学考试《泛函分析与概率论》考试大纲

泛函分析部分（各占50%）

第一章        度量空间

§1   压缩映象原理

§2   完备化

§3   列紧集

§4   线性赋范空间

 4.1  线性空间

 4.2  线性空间上的距离

 4.3  范数与Banach空间

 4.4  线性赋范空间上的模等价

 4.5  应用（最佳逼近问题）

 4.6  有穷维 空间的刻划

§5   凸集与不动点

 5.1  定义与基本性质

 5.2  Brouwer与Schauder不动点原理

 5.3  应用

§6   内积空间

 6.1  定义与基本性质

 6.2  正交与正交基

 6.3  正交化与Hilbert空间的同构

 6.4  再论最佳逼近问题

第二章        线性算子与线性泛函

§1   线性算子的概念

 1.1  线性算子和线性泛函的定义

1.2       线性算子的连续性和有界性

§2   Riesz定理及其应用

Laplace方程 狄氏边值问题的弱解

变分不等到式

§3   纲与开映象定理

 3.1  纲与纲推理

 3.2  开映象定理

 3.3  闭图象定理

 3.4  共鸣定理

3.5       应用

Lax-Milgram定理

Lax等价定理

§4   Hahn-Banach定理

4.1    线性泛函的延拓定理

4.2    几何形式----凸集分离定理

§5    共轭空间·弱收敛·自反空间

 5.1   共轭空间的表示及应用（Runge）

 5.2   共轭算子

5.3           弱收敛及*弱收敛

5.4           弱列紧性与*弱列紧性

§6    线性算子的谱

 6.1   定义与例

 6.2   Γелbφaнд定理

第三章        紧算子与Fredholm算子

  §1 紧算子的定义和基本性质

  §2 Riesz-Fredholm 理论

  §3 Riesz-Schauder理论

  §4 Hilbert-Schmidt定理

  §5 对椭圆方程的应用

  §6 Fredholm算子

主要参考文献

张恭庆  林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。

概率论部分

1.     概率论基本概念

2.     实值随机变量得概率分布

3.     概率空间的构成（建立概率空间的必要性、扩张定理，Markov链）

4.     大数定律

5.     随机变量序列（条件概率分布、遍历定理等）

6.     随机过程（时空齐次的Markov过程、平稳过程）

主要参考文献

伊藤清著，闫理坦译，概率论，人民邮电出版社，2011年，