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南开大学硕士研究生入学考试
《数学分析》考试大纲
本《数学分析》考试大纲适用于南开大学数学学科（包括南开大学数学学院，陈省身数
学所，组合数学中心等）各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要
的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学（含广义积分）、级数、多元微分学和
积分学（含参变量积分）等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，理解数学分析的基本
理论，熟练掌握数学分析的各种运算，理解数学分析的基本思想和方法。 要求考生具有较
好的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的
能力。
采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
考试内容：
1．分析基础：
极限： 数列与函数极限的定义， 收敛数列的性质与极限的四则运算，数列敛散的判
别法， 函数极限的性质与运算法则，无穷大量与无穷小量，实数的基本理论
（包括：确界原理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，致密性原理，单调有界原
理，区间套定理等），上极限和下极限，多元函数的极限概念与性质。
连续函数： 连续函数及其性质， 初等函数的连续性，一致连续， 闭区间上连续函数
的性质，多元函数的连续性。
2．导数与微分：导数的概念，导函数的计算，高阶导数， 微分，微分中值定理， 函数的
单调性和极值， 函数的凸性，洛必达法则，泰勒公式。
3．不定积分： 不定积分的概念， 换元积分法， 分部积分法，有理函数的积分， 三角函
数有理式的积分，和某些无理函数的积分。
4．定积分： 定积分的概念与计算， 定积分的性质，微积分基本定理，换元积分法。
定积分在几何计算中的应用，
5．多元函数的微分学：偏导数概念与计算，全微分的概念，方向导数及梯度的性质，多元
函数的泰勒公式，隐函数存在定理，极值理论。
6．重积分：重积分的概念与性质，重积分的计算。
7．曲线积分与曲面积分： 第一型曲线积分，第二型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲
面积分，各种积分之间的联系，曲线积分与路径无关的条件。
8．数项级数： 级数收敛性的概念和基本性质，正项级数收敛差别法，任意项级数收敛差别
法。
9．广义积分： 无限区间上的广义积分，有限区间上无界函数的广义积分。
10．一致收敛： 函数列的一致收敛性，一致收敛与极限换序。
11．函数项级数：函数项级数的一致收敛判别法，幂级数的性质，泰勒级数，函数的幂级数
展开，傅里叶级数的性质。
12．含参变量积分：含参变量的正常积分，含参变量的广义积分。
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