最新函数概念及其表示教案(六篇)
最新函数概念其表示教案
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最新函数概念及其表示教案(六篇)
作为一位无私奉献的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。那么我们该如何写一篇较为完美的教案呢？下面我帮大家找寻并整理了一些优秀的教案范文，我们一起来了解一下吧。
函数概念及其表示教案篇一
第一课时： 1.2.1 函数的概念
（一）
教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：
一、复习准备：
1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：
1.教学函数模型思想及函数概念：
①给出三个实例：
a.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.b.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书p16页图）
c.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见书p17页表）
②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集a中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集b中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:a?b ③定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:a?b为从集合a到集合b的一个函数（function），记作：y?f(x),x?a.其中，x叫自变量，x的取值范围a叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?a}叫值域（range）.④讨论：值域与b的关系？构成函数的三要素？
一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？
⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.2.教学区间及写法：
① 概念：设a、b是两个实数，且a
{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a
{x|a≤x
② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ③ 练习用区间表示：r、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x
3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
三、巩固练习： 1.已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？
3.课堂作业：书p21
1、2题.第二课时： 1.2.1 函数的概念
（二）
教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：值域求法。
教学过程：
一、复习准备：
3x21.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为x 什么？
2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.
二、讲授新课：
1.教学函数定义域：
①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）f(x)=x?3 x2?2kx；
f(x)=x?1－x 2?x 学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
②练习：求定义域（用区间）→
f(x)
＝x?2 f(x)
x?3③小结：求定义域步骤：列不等式（组）→ 解不等式（组）
2.教学函数相同的判别：
①讨论：函数y=x、y=(x)、y=2x3 x
2、y=x
4、y=x2有何关系？
②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
a.f(x)=(x －1)；g(x)= 1;b.f(x)= x； g(x)= x2 0 c．f(x)= x ；f(x)=(x + 1)22、d.f(x)= | x | ；
②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。
3.教学函数值域的求法：
① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x2－2x＋4；y＝
＝x?2 x?3?5；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)x?3 先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个
②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。变：f(x)?1f(x)? 1?1/xx?1，求f(f(x))x?1 解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法）解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）
3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 。
4.求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3)在值域。
解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域
5.课堂作业：书p27
1、2、3题。
第三课时： 1.2.2 函数的表示法
（一）
教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
1.教学函数的三种表示方法：
① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值。具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。
②出示例1.某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．
师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例
中的函数.④看书p22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
甲
乙
丙
班平均
分 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 90 68 88．2 87 76 65 78．3 91 88 73 85．4 92 75 72 80．3 88 86 75 75．7 95 80 82 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？
小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论
讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？ 2．教学分段函数：
①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。
邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0
（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正）
②练习：a.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。
b.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。
③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例
3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段
三、巩固练习：1.已知f(x)＝? 7,8，9题
第四课时：1.2.2 函数的表示法
（二）
?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。2.作业：p27 教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念．
教学难点：理解概念。
教学过程：
一、复习准备：
1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；
对于坐标平面内任何一个点a，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2.讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.
二、讲授新课：
1.教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合a、b的元素之间的一些对应关系，并用图示意
a?{1,4,9}, b?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方；
a?{?3,?2,?1,1,2,3}，b?{1,4,9}，对应法则：平方；
a?{30?,45?,60?
}, b?{1, 对应法则：求正弦； 2 ② 定义映射：一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:a?b为从集合a到集合b的一个映射（mapping）．记作“f:a?b” 关键: a中任意，b中唯一；对应法则f.③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？
→ 举例一一映射的实例（一对一）
2.教学例题：
① 出示例1.探究从集合a到集合b一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ a={p | p是数轴上的点}，b=r； a={三角形}，b={圆}；
a={ p | p是平面直角体系中的点}，b?{(x,y)|x?r,y?r}； a={高一某班学生}，b= ？
（师生探究从a到b对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：a中任意，b中唯一）
② 讨论：如果是从b到a呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合a到集合b的映射？
a={1，2，3，4}，b={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1； a?n*,b?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数；
a?n，b?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数； 111设x?{1,2,3,4},y?{1，,f:x?x取倒数； 234 a?{x|x?2,x?n},b?n，f:x?小于x的最大质数
3.小结：映射概念.
三、巩固练习： 1.练习：书p26
2、3、4题； 2.课堂作业：书p28 10题.第五课时 1.2 函数及其表示（练习课）
教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．
教学难点：函数记号的理解.教学过程：
一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1.说出下列函数的定义域与值域： y? 2.已知f(x)?18； y?x2?4x?3； y?2.x?4x?33x?51，求f，f(f(3))，f(f(x)).x?
?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)，作
出
f(x)的图
象
已，知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.?x?1(x?0)?
二、教学典型例题：
1.函数f(x)记号的理解与运用：
① 出示例1.已知f(x)=x?1 g(x
1求f[g(x)]（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）
② 练习：已知f(x)=x2?x+3 求： f(x+1), f(21)x 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③ 出示例2.若f1）?x?求f(x
分析：如何理解f1？ 如何转化为f(x））
解法一：换元法，设t?1，则??
解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，则?? 解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则?? 讨论：f(x）中，自变量x的取值范围？
1x④ 练习：若f()?，求f(x）.x1?x 2.函数应用问题：
①出示例3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y（元）.ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ ⅱ.2 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
（师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型）
1三、巩固练习：1.已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).x 112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)f(x?)44 3.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.荐荐小初学二
数数
学学
教教
案案案
[1000(800 [1000
字字
])荐生活中的数学教字] 荐人教版初一上数学教案(全册)[1500字] 荐工程数学教案(500字)
函数概念及其表示教案篇二
函数及其表示方法
一、目标认知 学习目标：
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
重点:
函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．
难点:
对函数符号yf(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．
二、知识要点梳理
知识点
一、函数的概念
1．函数的定义
设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作：yf(x)，xa．
其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xa}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；
.； 知识点
二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点
三、映射与函数 1.映射定义：
设a、b是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的映射；记为f：a→b.象与原象：如果给定一个从集合a到集合b的映射，那么a中的元素a对应的b中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：
(1)a中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)b中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).2.函数：
设a、b是两个非空数集，若f：a→b是从集合a到集合b的映射，这个映射叫做从集合a到集合b的函数，记为y=f(x).注意：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)b中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导 1.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析
类型
一、函数概念
(1)1.下列各组函数是否表示同一个函数？
(不同)
(2)
(不同)
(3)
(4)
(相同)
(相同)
思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则法则，其中核心是对应，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与
(2)
(3)
是同一函数；
与y=|x|是同一函数；
是同一函数；
(4)
与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)；
(2)；
(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)；
(2)；
(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．
解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使
所以函数的定义域是；，(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集r；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3³32+5³3-2=27+15-2=40；
举一反三：；
.；
【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f()的值；
(3)当a＞0时，求f(a)³f(a-1)的值.2
3解：(1)由；
(2)；；
(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))
思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
解：(1)f(2)=2³22-3³2-25=-23；g(2)=2³2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2³(-1)2-3³(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2³(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2³(2x-5)2-3³(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2³(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4.求值域(用区间表示)：
(1)y=x2-2x+4；
思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；
.(2)；
(3)；
(4)1)∪(1，+∞).，∴函数的值域为(-∞，类型
二、映射与函数
5.下列对应关系中，哪些是从a到b的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?
(1)a=r，b=r，对应法则f：取倒数；
(2)a={平面内的三角形}，b={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；
(3)a={平面内的圆}，b={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．
思路点拨：根据定义分析是否满足“a中任意”和“b中唯一”．
解：(1)不是映射，集合a中的元素0在集合b中没有元素与之对应，不满足“a中任意”；若把a改为
a={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；
(2)是映射，集合a中的任意一个元素(三角形)，在集合b中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与
之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；
(3)不是映射，集合a中的任意一个元素(圆)，在集合b中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无
数个)与之对应，不满足“b中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正
三角形便可成为映射．
总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集a、终止集b和对应法则f三个角度入手．
举一反三：
【变式1】判断下列两个对应是否是集合a到集合b的映射？
①a={1，2，3，4}，b={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
②a=n*，b={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；
③a=n，b={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；
④设x={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①a中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：a→b，在f的作用下，判断下列说法是否正确？
(1)任取x∈a，都有唯一的y∈b与x对应；
(2)a中的某个元素在b中可以没有象；
(3)a中的某个元素在b中可以有两个以上的象；
(4)a中的不同的元素在b中有不同的象；
(5)b中的元素在a中都有原象；
(6)b中的元素在a中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从a到b的映射？是从a到b的一一映射吗？是从a到b的函数吗？
(1)a=n，b={1，-1}，f：x→y=(-1)x；
(2)a=n，b=n+，f：x→y=|x-3|；
(3)a=r，b=r，(4)a=z，b=n，f：x→y=|x|；
(5)a=n，b=z，f：x→y=|x|；
(6)a=n，b=n，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从a到b的映射也是从a到b的函数，但只有(6)是从a到b的一一映射；(2)、(3)不是从a到b的映射也不是从a到b的函数.6.已知a=r，b={(x，y)|x，yr}，f：a→b是从集合a到集合b的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求a中的元素
解：
∴a中元素的象为的象，b中元素的原象.故.举一反三：
【变式1】设f：a→b是集合a到集合b的映射，其中
(1)a={x|x＞0}，b=r，f：x→x2-2x-1，则a中元素的象及b中元素-1的原象分别为什么？
(2)a=b={(x，y)|x∈r，y∈r}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则a中元素(1，3)的象及b中元素(1，3)的原象分别为什么？
解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以a中元素的象为；
又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为a={x|x＞0}，所以b中元素-1的原象为2；
(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以a中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；
又因为由
有x=2，y=1，所以b中元素(1，3)的原象为(2，1).类型
三、函数的表示方法
7.求函数的解析式
(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；
(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1
即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：
【变式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；
(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；
(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2²(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.(1)8.作出下列函数的图象.；
(2)；
(3)；
(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；
(2)为分段函数，图象是两条射线；
(3)
(4)图象是抛物线.为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；
所作函数图象分别如图所示：
类型
四、分段函数
9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2³02+1=1
f[f(-1)]=f[2³(-1)+3]=f(1)=2³12+1=3.举一反三：
【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：
∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；
f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.举一反三：
【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？
ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
解：ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；
ⅱ： 当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250
∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；
ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）
采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.学习成果测评 基础达标
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()
⑴，；
⑵，；
⑶，；
⑷，；
⑸，．
a．⑴、⑵
b．⑵、⑶
c．⑷
d．⑶、⑸
2．函数y=的定义域是（）
a．-1≤x≤
1b．x≤-1或x≥1
c．0≤x≤1
3．函数的值域是（）
a．(-∞，)∪(，+∞)
b．(-∞，)∪(，+∞)
c．r
d．(-∞，)∪(，+∞)
4．下列从集合a到集合b的对应中：
①a=r，b=(0，+∞)，f:x→y=x2；
②
③
④a=[-2，1]，b=[2，5]，f:x→y=x2+1；
d．{-1，1}
⑤a=[-3，3]，b=[1，3]，f:x→y=|x|
其中，不是从集合a到集合b的映射的个数是()
a． 1
b． 2
c． 3
d． 4
5．已知映射f:a→b，在f的作用下，下列说法中不正确的是()
a． a中每个元素必有象，但b中元素不一定有原象
b． b中元素可以有两个原象
c． a中的任何元素有且只能有唯一的象
d． a与b必须是非空的数集
6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()
a．(，1)
b．(1，3)
c．(2，6)
d．(-1，-3)
7．已知集合p={x|0≤x≤4}，q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从p到q的映射的是()
a．y=
b．y=
c．y=x
d．y=
x2
8．下列图象能够成为某个函数图象的是()
9．函数的图象与直线的公共点数目是()
a．
b．
c．或
d．或 10．已知集合和
a．中的元素对应，则
c．，且的值分别为()
d．，使
中元素
b．11．已知，若，则的值是()
a．
b．或12．为了得到函数
c．，或
d．的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()
a．沿轴向右平移个单位
b．沿轴向右平移个单位
c．沿轴向左平移个单位
d．沿轴向左平移
二、填空题
个单位
1．设函数则实数的取值范围是_______________．
2．函数的定义域_______________．
上的值域是_________． 的图象与x轴交于，且函数的最大值
3．函数f(x)=3x-5在区间
4．若二次函数为，则这个二次函数的表达式是_______________．
5．函数
6．函数
三、解答题的定义域是_____________________．的最小值是_________________．
1．求函数
2．求函数的定义域．的值域．
3．根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；
(4)已知；
(5)已知f(x)的定义域为r，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升
一、选择题
1．设函数
a．
b．
c．，则的表达式是()
d．
2．函数
a．3
b．-3
c．
满足
d．
则常数等于()
3．已知
a．15
b．1
c．3
d．30
4．已知函数
定义域是，那么等于()，则的定义域是()
a．
5．函数
a．
b．
c． 的值域是()
d．
b．
c．
d．
6．已知，则的解析式为()
a．
二、填空题
b．
c．
d．
1．若函数
2．若函数，则，则
=_______________． =_______________．
3．函数的值域是_______________．
4．已知
5．设函数，则不等式，当的解集是_______________．
时，的值有正有负，则实数的范围________．
三、解答题
1．设是方程的两实根，当
为何值时，有最小值?求出这个最小值．
2．求下列函数的定义域
(1)
3．求下列函数的值域
；(2)．
(1)；(2)．
综合探究
1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()
2.如图所表示的函数解析式是()
a.b.c.d.3．函数的图象是()
4.如图，等腰梯形abcd的两底分别为ad=2a，bc=a，∠bad=45°，作直线mn⊥ad交ad于m，交折线abcd于n，记am=x，试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.
答案与解析：
基础达标
一、选择题
1．c．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．
2．d．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，选d．
3．b．法一：由y=，∴x= ∴y≠，应选b．
法二：
4．c．提示：①④⑤不是，均不满足“a中任意”的限制条件．
5．d．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．
6．a．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选a．
7．c．∵0≤x≤4，∴0≤
8．c．
x≤=2，应选c．
9．c．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于
10．d．按照对应法则
而，∴，仅有一个函数值．
．，而
11．d．该分段函数的三段各自的值域为
∴
∴
．
12．d．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即
二、填空题，左移．
1．.当，这是矛盾的；当
.2．
设
.提示：，对称轴
.3．，当
时，.4．
..5．
三、解答题
1．解：∵..6．.．，∴定义域为
2．解：∵ ∴，∴值域为
3．解：(1).提示：利用待定系数法；
(2).提示：利用待定系数法；
(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；
(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设；
(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得
能力提升
一、选择题
1．b.∵
∴；
2．b.3．a.令
4．a.；
5．c.；
6．c.令
二、填空题
1．2．.令..．
.3．..4．.当
当，∴.5．
得
三、解答题
1．解：.2．解：(1)∵∴定义域为；
(2)∵∴定义域为．
3．解：(1)∵，∴值域为；
(2)∵
∴值域为
.∴
综合探究
1.d．因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当
时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除a、c；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选d.2.b．本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除a、c，将x=1代入选项排除d，故选b.
3.d． .，就需准确揭示x、y之间的变化关系.依题意，4.思路点拨：要求函数的表达式可知随着直线mn的移动，点n分别落在梯形abcd的ab、bc及cd边上，有三种情况，所以需要分类解答.
解析：作bh⊥ad，h为垂足，cg⊥ad，g为垂足，依题意，则有
(1)当m位于点h的左侧时，由于am=x，∠bad=45°.(2)当m位于hg之间时，由于am=x，；
(3)当m位于点g的右侧时，由于am=x，mn=md=2a-x.综上：
总结升华：
(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义.
函数概念及其表示教案篇三
教学准备
1.教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依
赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；
3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.2.教学重点/难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
3.教学用具
多媒体
4.标签
函数及其表示
教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念 （1）函数的概念：
设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈a }叫做函数的值域（range）． 注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b
(a≠0)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
y=
(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
最新函数概念及其表示教案(六篇)
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