离散数学例题精解 离散数学例题群证明(五篇)
离散数学例题精解 离散数学例题群证明
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离散数学例题精解 离散数学例题群证明(五篇)
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离散数学例题精解 离散数学例题群证明篇一
一、（10分）
（1）证明(pq)∧(qr)(pr)（2）求(p∨q)r的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。解：（1）因为((pq)∧(qr))(pr)((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)(p∧q)∨(q∧r)∨p∨r (p∧q)∨((q∨p∨r)∧(r∨p∨r))(p∧q)∨(q∨p∨r)(p∨q∨p∨r)∧(q∨q∨p∨r)t 所以，(pq)∧(qr)(pr)。
（2）(p∨q)r(p∨q)∨r(p∧q)∨r (p∨(q∧q)∨r)∧((p∧p)∨q∨r)(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨q∨r)m2∧m4∧m6 m0∨m1∨m3∨m5
所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。
二、（10分）分别找出使公式x(p(x)y(q(y)∧r(x，y)))为真的解释和为假的解释。
解：设论域为{1，2}。
若p(1)＝p(2)＝t，q(1)＝q(2)＝f，r(1，1)＝r(1，2)＝r(2，1)＝r(2，2)＝f，则 x(p(x)y(q(y)∧r(x，y)))x(p(x)((q(1)∧r(x，1))∨(q(2)∧r(x，2))))(p(1)((q(1)∧r(1，1))∨(q(2)∧r(1，2))))∧(p(2)((q(1)∧r(2，1))∨(q(2)∧r(2，2))))(t((f∧f)∨(f∧f)))∧(t((f∧f)∨(f∧f)))(tf)∧(tf)f 若p(1)＝p(2)＝t，q(1)＝q(2)＝t，r(1，1)＝r(1，2)＝r(2，1)＝r(2，2)＝t，则 x(p(x)y(q(y)∧r(x，y)))x(p(x)((q(1)∧r(x，1))∨(q(2)∧r(x，2))))(p(1)((q(1)∧r(1，1))∨(q(2)∧r(1，2))))∧(p(2)((q(1)∧r(2，1))∨(q(2)∧r(2，2))))(t((t∧t)∨(t∧t)))∧(t((t∧t)∨(t∧t)))(tt)∧(tt)t
三、（10分）
在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个喜欢步行的人都不喜欢做汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。
解
论域：所有人的集合。a(x)：x喜欢步行；b(x)：x喜欢坐汽车；c(x)：x喜欢骑自行车；则推理化形式为：
x(a(x)b(x))，x(b(x)∨c(x))，xc(x)xa(x)下面给出证明：(1)xc(x)
p(2)xc(x)
t(1)，e(3)c(c)
t(2)，es(4)x(b(x)∨c(x))
p(5)b(c)∨c(c)
t(4)，us(6)b(c)
t(3)(5)，i(7)x(a(x)b(x))
p(8)a(c)b(c)
t(7)，us(9)a(c)
t(6)(8)，i(10)xa(x)
t(9)，eg
四、（10分）
下列论断是否正确？为什么？(1)若a∪b＝a∪c，则b＝c。(2)若a∩b＝a∩c，则b＝c。(3)若ab＝ac，则b＝c。
解(1)不一定。例如，令a＝{1}，b＝{1，2}，c＝{2}，则a∪b＝a∪c，但b＝c不成立。(2)不一定。例如，令a＝{1}，b＝{1，2}，c＝{1，3}，则a∩b＝a∩c，但b＝c不成立。(3)成立。因为若ab＝ac，对任意的x∈b，当x∈a时，有x∈a∩bxabxac＝(a∪c)－(a∩c)x∈a∩cx∈c，所以bc；当xa时，有xa∩b，而x∈bx∈a∪b，所以x∈a∪b－a∩b＝abx∈ac，但x a，于是x∈c，所以bc。
同理可证，c b。
因此，当ab＝ac时，必有b＝c。
五、（10分）若r是集合a上的自反和传递关系，则对任意的正整数n，r＝r。
证明 当n＝1时，结论显然成立。设n＝k时，rk＝r。当n＝k＋1时，rk+1＝rk*r＝r*r。下面由r是自反和传递的推导出r*r＝r即可。
由传递性得r*rr。另一方面，对任意的
n
六、（15分）设函数f：r×rr×r，f定义为：f(
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