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仿真优化模型篇一

摘要：
为准确评估复杂系统仿真模型的可信度，以某飞行器非线性动力学模型为研究对象，对比多种传统可信度评估方法和基于复杂性测度的可信度评估方法的准确性。结果表明：传统可信度评估方法可以从单一方面进行模型的可信度评估并得到可信的结果，而基于复杂性测度的可信度评估方法可以综合分析信息熵、复杂度和系统结构认知图等信息，客观定量地评价模型的可信度。基于复杂性测度的可信度评估结果可为其他评估方法的准确性判断提供依据。

0 引 言

仿真技術是科学研究的主要方法之一。仿真系统研究的规模越来越大，技术越来越复杂。模型可信度是复杂系统仿真的关键。目前，模型可信度评估方法有很多种。对于复杂系统，不同模型方法仿真的结果可能存在较大差异。准确评估模型的可信度是复杂系统仿真的基础。因此，研究模型可信度评估方法对复杂系统仿真具有重要意义。

广泛应用的模型可信度评估方法主要有统计学方法、时域分析法、频域分析法和信息学方法等。这些方法主要针对较简单的仿真系统。张淑贵[1]采用假设检验法对2种清洁硅片的工艺系统仿真进行可信度评估。赵善禄等[2]采用时频一致性检验法对武器装备系统的动态数据进行有效性检验。魏华梁等[3]采用灰色关联系数法对导弹系统仿真模型进行可信度评估。罗檬[4]和刘延珍[5]采用tic法分别评估飞行器仿真模型和导弹系统仿真模型的可信度。王哲等[6]和王博等[7]采用最大熵谱估计法分别对飞机仿真模型和悬架系统仿真模型进行可信度评估。周玉臣[8]采用窗谱分析法评估制导控制仿真系统的侧滑角可信度。

基于复杂性测度理论的模型可信度评估方法是信息学方法的一种，部分学者将其应用于复杂系统仿真模型的可信度评估。[9]赖宇阳等[10-11]基于复杂性测度进行乘员约束系统仿真模型的可信度评估。刘树成等[12]基于复杂性测度评估变矩器流场仿真模型的可信度。

基于上述模型可信度评估方法，本文以某复杂系统动力学仿真模型为研究对象，进行模型可信度评估对比，旨在为复杂系统仿真模型可信度评估提供参考依据。

1 模型可信度评估方法

1.1 常用的模型可信度评估方法

统计学方法采用数理统计进行样本的有效性检验，包括参数估计法和假设检验法。参数估计法利用样本的均值、二阶中心矩和标准误差等参数，通过指定置信度水平划分置信区间，由概率统计得到模型的可信度。假设检验法适用于样本总体服从正态分布的问题。根据统计量的分布类型，假设检验法可分为u检验法（正态分布）、t检验法（t分布）和f检验法（f分布）等。

时域分析法根据样本的时间序列进行数据有效性检验，包括tic法和灰色关联系数法。tic法是一种动态性能可信度评估方法，其本质是利用加权原理构造一种误差范数形式。灰色关联系数法主要用于分析数据序列之间的几何接近程度，适用于初值敏感模型的可信度评估问题。

频域分析法主要比较功率谱密度的统计特性是否一致及其一致性程度。根据是否对平稳随机序列求谱，频域分析法可分为窗谱分析法和频响函数置信度准则（freqeuncy response assucance criterion， frac）2种方法。窗谱分析法属于非参数化方法，在进行谱估计值的相容性检验之前，直接利用快速傅里叶变换（fast fourier transform， fft）对数据序列求谱;在相容性检验阶段，采用类似假设检验的方法构造假设和统计量。窗谱分析法所选窗函数不同，检验结果也不同，常用的窗函数为汉宁窗函数。对于可直接获得功率谱密度的仿真和试验系统，一般采用frac方法进行数据的相容性检验。该方法可用于判断所有频响向量在幅值和相位上的一致性，是一种比较严格的模型可信度评估方法。

常用的信息学方法是最大熵谱估计法。该方法是应用最广泛的现代谱估计方法之一，其基本原理是按照系统概率空间熵最大的原则对未知信息进行预测外推，即通过已知信息得到最接近真实系统输出的随机过程。

1.2 系统复杂性测度理论

系统复杂性测度通过对仿真和试验2组原始数据包含的信息熵和变量间的信息结构进行计算和识别，得到仿真数据与试验数据的复杂性、变量之间关联性、系统拓扑结构稳健性等信息，并基于这些信息对模型进行多方面的可信度分析。

系统复杂性测度的计算分为相空间信息分析、整体信息结构认知和复杂性测度等3个部分。

第一部分：相空间信息分析。采用信息熵（香农熵）测度定量计算相空间信息，通过基于互信息测度的广义相关系数定量计算相空间变量之间的非线性相关性。

第二部分：整体信息结构认知。基于zadeh不相容原理，按照一定的模糊水平分割相空间，将样本点的精确数值转换为等价模糊向量。在此基础上，抽取向量之间的模糊依赖规则，形成系统整体信息结构认知图。

第三部分：复杂性测度。系统的复杂度由系统变量的信息熵、互信息、广义相关性系数等进行描述。

1.3 基于复杂性测度的可信度评估

基于复杂性测度理论对复杂系统仿真模型进行可信度评估，需要依次进行单变量、双变量和多变量分析：首先，对仿真数据和试验数据中的变量逐个进行定量分析比较，完成单变量分析;其次，对相空间形态进行定性分析，对变量之间的相关性进行定量分析，确定变量之间的关联性和耦合度，完成双变量分析;最后，对系统整体信息结构认知图中多变量之间的关系进行定性分析，对复杂性可信度、关联性可信度、稳健性可信度等进行定量分析，三者的加权平均值即为整个系统仿真模型的可信度。

系统复杂性可信度计算公式为icr=min（csim，ctest）max（csim，ctest）

（1）式中：csim为仿真模型的复杂性测度;ctest为试验系统的复杂性测度。

复杂性测度的计算公式为c=2tenξ

（2）式中：te为系统信息熵，te等于所有变量的信息熵之和减去任意两变量间的互信息熵;n为活动节点数;ξ为考虑系统图链接密度的修正因子。

系统关联性可信度计算公式为ircr=mn

（3）式中：m为2个系统中相同连接度的节点数;n为试验系统图中所有活动节点数。

系统稳健性可信度计算公式为irbcr=min（rsim，rtest）max（rsim，rtest）

（4）式中：rsim为仿真模型的拓扑结构稳健性;rtest为试验系统的拓扑结构稳健性。

（5）式中：cr为系统临界复杂度;cm为系统最低复杂度;cu为系统当前复杂度。

2 复杂系统动力学模型可信度评估

以某飞行器动力学模型为研究对象，基于随机振动试验数据，对10～1 000 hz频率范围内的随机响应分析结果进行可信度评估。试验用振动试验台见图1。

仿真和试验的加速度功率谱密度曲线见图2，其中s1～s6为指标编号，分别对应指标1～指标6。根据统计计算显示，仿真结果的均值和方差分别为33.64 g4/hz2和0.68 g2/hz，试验数据的均值和方差分别为22.96 g4/hz2和0.15 g2/hz。

2.1 传统可信度评估方法进行模型可信度评估

针对该飞行器动力学模型仿真结果和试验数据，采用传统可信度分析算法获得模型可信度评估结果，见表1。

u检验法、t检验法和最大熵谱估计法均依据数据的均值、方差等统计特性进行可信度评估，结合数据的统计特性可知对应算法的可信度得分理应较高。f检验法适用于服从f分布的试验数据，而本文中为正态分布数据，不能获得理想的可信度。窗谱分析法先用fft对数据进行处理，再进行相容性检验，对于本案例而言属于过度操作，因此无法获得有意义的可信度得分。其他的可信度算法得分参差不齐，在缺乏数据的情况下，无法判断对应方法对本案例模型可信度评估的有效性。

2.2 基于复杂性测度理论进行模型可信度评估

复杂性测度方法可以识别数据的信息结构，得到数据的复杂性、变量之间的关联性和系统图拓扑结构的稳健性等信息，由此可以进行仿真模型复杂性校核可信度评估、关联性校核可信度评估和稳健性校核可信度评估，相应可信度评估结果可辅助案例模型的可信度评估方法选择。

2.2.1 单变量分析

各指标信息熵对比见图3。仿真模型的指标1和指标2信息熵为0，其余指标的信息熵均大于試验模型的信息熵;仿真和试验的系统信息熵分别为19.53和29.43，后者为前者的150.7%，这表示仿真模型不能完全反映试验的不确定性。

仿真模型与试验各指标对系统复杂度的贡献量对比见图4。由此可知，仿真模型和试验各指标对应的复杂度贡献量不一致。

仿真模型和试验各指标的稳健性对比见图5。稳健性数值越接近1.0，说明该指标的稳健性越好，指标受系统变化的影响越小。由图5可知，仿真模型和试验各指标对应的稳健性不一致。

2.2.2 双变量分析

仿真和试验数据的相空间图见图6。图中s1～s6表示指标编号1～6，正交直线相交的节点代表指标间具有广义的相关性。图6中仿真与试验关联节点的拓扑结构一致性较差，且仿真数据对应的总连接数少于试验数据对应的总连接数，说明本案例的仿真模型未能完全反映试验的关联规则。这也可以解释图3中各指标对2个模型复杂度贡献量不一致的问题。

指标3、4、5、6的广义相关性对比分析结果见图7，可见指标之间的非线性程度非常高。试验环境复杂，存在环境噪声或其他不确定因素，导致试验数据的离散性较强、非线性较高;仿真模型存在条件简化且未考虑复杂的环境因素，使仿真环境过于理想，因此所得仿真结果的非线性程度降低。同时，除指标4和指标6以外，仿真数据间的广义相关性均大于试验数据间的广义相关性，说明仿真模型将相应指标之间的关联性进行不必要的强化。

2.2.3 多变量分析

仿真和试验的系统图对比见图8。根据图中的连接密度和活动节点等信息，结合式（2），可计算得到仿真和试验数据的复杂性测度分别为13.81和24.03，后者为前者的1.74倍，说明本案例的仿真模型未能足够反映试验的复杂性。根据式（1）计算得到仿真模型复杂性可信度指标为57.47%。2个系统图中具有相同连接度的节点数为1个，试验系统图中所有活动节点数为6，根据式（3）计算得到仿真模型的关联性可信度指标为16.67%;仿真数据和试验数据的拓扑结构稳健性分别为62.5%和82.8%，根据式（4）计算得到稳健性可信度指标为75.48%。

定义仿真模型复杂性可信度指标、关联性可信度指标和拓扑结构稳健性可信度指标的均值为仿真模型系统复杂性测度的整体可信度指标，用m表示，根据前文数据可以计算得到m=49.87%。

通过仿真和试验数据的复杂性测度可以得到各指标对仿真与试验差距的贡献量，见图9。指标2对仿真与试验数据差距的贡献量最大，为25.84%;指标5的贡献量最小，为10.48%。对应图3中显示的仿真模型与试验模型中各节点的连接度可知，指标2所在节点处仿真数据与试验数据的连接度相差最大，而指标5所在节点处2组数据具有相同的连接度，相差最小。这2处结论可相互印证。

3 结 论

以某飞行器动力学模型为研究对象，基于随机振动测试数据，针对随机响应分析结果，分别采用传统模型可信度评估方法和基于复杂性测度的可信度评估方法，进行仿真模型整体可信度评估，结论如下。

（1）假设检验法和最大熵谱估计法均根据系统的均值和方差，结合相应的分布类型进行模型的可信度评估，在数据统计层面具有较高的可信度，应用于本文研究对象中可以获得较高的可信度得分。这2种方法的缺点是无法进一步表征系统的复杂性相关信息。

（2）窗谱分析法依赖于对数据的fft，可用于未完成时频变换的系统模型的可信度评估。应用于本文的复杂系统仿真模型时，该方法不能保证可信度评估结果的准确性。

（3）tic法得到的结果更为严谨，应用于本文复杂系统仿真模型的可信度评估，其得分与基于复杂性测度理论获得的可信度评估分数接近。

（4）复杂性测度理论从仿真模型的复杂性可信度、关联性可信度和稳健性可信度等3个方面全方位评估系统的可信度，可以深度挖掘系统信息。对于本文复杂系统仿真模型的可信度评估，该方法可提供直观可信的评估结果。

（5）复杂性测度理论可全面客观地分析模型的信息，所得可信度结果可以为其他类型模型可信度评估的准确性判断提供依据。

参考文献：

（编辑 武晓英）

仿真优化模型篇二

摘 要：数轴是数学的重要知识点，是数形结合的具体体现。小学数学教学中，借助数轴进行“数”的教学，不仅有助于加深学生对“数”的理解，而且还能清晰地看到“数”与“数”之间的联系，为数学知识学习奠定坚实基础。文章结合小学数学教学实际，就如何借助数轴模型优化“数”的教学进行探讨，以供参考。

关键词：小学数学;数轴模型;教学;优化

一、借助数轴模型，比较“数”的大小

小学数学教学中，教会学生比较“数”的大小是基础。“数”具有一定的抽象性，直接比较大小的难度较大，部分学生不能灵活掌握，尤其在解答比较大小的试题时，各种问题便显现出来。因此，教学中，教师可借助数轴模型，进一步增强学生对“数”的大小的认识。一方面，引导学生学习数轴知识，加深对数轴的认识。教师在讲解“数”的相关知识时，可告知学生：所学的数可构成一个特定的图形，即数轴。数轴上的一个点对应一个数。同时，教师为学生深入讲解数轴的单位长度、正方向、原点等知识，使学生对数轴有基本的认识，即右边的数总是大于左边的数。另一方面，借助所学的各种“数”，在数轴上进行表示。小学阶段所学的“数”包括整数、小数、分数。为使学生进一步理解数与数轴的关系，教师可创设相关的问题情境，鼓励学生将对应的整数、小数、分数标注在数轴上，加深学生对“数”的大小的认识与理解。同时，通过训练，使学生认识到数轴的重要性，逐渐养成运用数轴分析与“数”相关的数学问题的习惯。

例如，教师在讲解“数轴”知识点后，可给出以下题目要求学生解答：将以下各数标注在数轴中。

给出的数为：-4、1、-2、2.5、-0.5、1.5、-

学生要想在数轴中准确标出给出的数，需要明白各数的“含义”，而后确定数轴的单位，进行标注。教学中教师不应直接给出答案，而应给学生留下充足的思考时间，鼓励学生先动手进行标注，而后公布正确答案，要求学生对照自身，分析标错的原因。题目共给出七个数，其中四个负数应标注在“0”的左侧，三个正数应标注在“0”的右侧。根据给出的数的大小，可确定数轴的单位为1。显然根据所学的小数、正数、负数知识点，学生不难在数轴上标注出来。

小学数学教学中，使学生正确认识“数”的大小是教学的重点，关系着学生数学学习成绩的提高，因此，教师教学中应运用数轴，对常规教学方法进行优化，使学生更加直观地认识“数”的大小，为学生灵活运用“数”做好铺垫。

二、借助数轴模型，进行“数”的运算

数轴不仅表示“数”，而且可以直观地呈现出“数”与“数”之间的关系，因此，在小学数学教学中，教师应注重运用数轴模型，引导学生进行“数”的运算。一方面，在进行“数”的运算的教学中，教师通常要求学生采用数手指的方法进行运算，不过一旦计算的数超过10，学生数手指便显得较为困难。而运用数轴便不受这一限制，数轴可进行大多数“数”的运算。因此，数学应提高学生运用数轴进行“数”的运算的意识，使其认识到原来的数加上一个数，就向数轴“右侧”移动对应单位，减去一个数就向数轴左侧移动对应单位。另一方面，为使学生掌握运用数轴进行计算的技巧，教学中应注重典型例题的讲解，不断提高学生“数”的运算能力。

+=           ++=

题目涉及小数、分数的加法，尤其进行连续相加时，不少学生不知道如何解答，此时可引导学生借助数轴进行计算。如下图，教师可要求学生认真观察数轴，让其在上下空白处分别填上分数、小数，而后借助数轴进行计算。

分析可知，数轴显示出了“0”右边的数字，而且“0”到“1”之间划分成10个均匀的小格，因此，不难填写出空白处的数字。显然从左到右填写的数字依次为：0.1、2/10、0.5、0.7、8/10、10/10、1.2。以“0.1+0.2+0.3”为例，先找到0.1在数轴上的点，而后向右数2个单位，再向右数3个单位，可知其对应的数字为0.6，即0.1+0.2+0.3=0.6。通过该计算过程的讲解，学生认识到计算加法时，先找到其中一个加数在数轴上的点，而后根据所加的多少移动对应的单位，其对应的数字即为求解的和。这时再要求学生自己运用数轴进行计算。结果学生不仅顺利得出正确答案，而且对小数、分数的加法有了更深入的认识。

三、借助数轴模型，理解“数”的正负

小学数学教学中，理解“数”的正负，才能正确、灵活运用“数”。因此，教学中除运用数轴模型比较“数”的大小、进行“数”的运算外，还应帮助学生理解“数”的正负，学会运用数轴分析实际问题。一方面，立足数轴，挖掘其蕴含的数学知识。随着学习的深入，学生已掌握有关数轴的基本知识，但教师还应引导学生深入挖掘数轴中的数学知识，借助数轴深入理解“数”的正负，即数轴上以“0”为分界线，“0”的左边为负数，右边为正数。同时，教师还应为学生讲解“数”的正负与距离间的关系，即，无论数轴上的“数”是正还是负，其与原点的距离均是大于零的。另一方面，创设实际问题，鼓励学生思考解答。我们只有在教学中创设学生感兴趣的实际问题，鼓励学生思考解答，使学生认识到数轴这一数学工具的重要性，才能促使其灵活运用数轴，分析相关“数”的正负问题，不断提高分析问题的能力。

例如，为使学生通过数轴深化对“数”的正负的理解，可创设以下情境：以下數轴中每一格代表现实中的1米远。假设一只青蛙刚开始在“0”点。

仿真优化模型篇三

摘要：扭转梁后桥开发过程中，须按照从整车技术要求分解出的零部件技术规范进行设计，并借助cae优化技术对零部件各性能进行优化。本文主要针对某型扭转梁后桥侧向力耐久疲劳和减振器力耐久疲劳工况进行优化分析，结构优化后耐久疲劳寿命提高。实物样件台架验证结果与优化仿真分析结果基本一致。

关键词：性能优化;cae技术;扭转梁后桥

赵建宏

毕业于上海海事大学，硕士学历，中级工程师，现就职于泛亚汽车技术中心有限公司，任试验认证工程师。主要研究方向为底盘结构件试验认证及结构件载荷。

后扭转梁后桥因结构简单、成本低，在运动学上也有较多优点而被广泛应用在a级、ao级轿车上。各大汽车厂商对扭转梁后桥进行着不断地升级和优化，其主要开发流程为底盘供应商根据主机厂发布的零部件技术规范（cts）中提供的硬点坐标，包络数模，周边接口零件等几何要求和静态刚度、动态刚度、疲劳耐久性能等性能要求进行零部件开发设计。

随着环保压力的日趋增大，汽车轻量化在设计过程中成为一个重要的考核指标。因此，扭转梁后桥开发需要产品开发人员在结构性能与产品重量问寻找最佳平衡点。本文利用hypermesh建立扭转梁后桥有限元模型，n分析各工况应力分布情况。同时，life进行疲劳寿命预测，并将疲劳寿命的仿真结果与样件台架试验结果进行比对，充分验证优化方案的合理性及准确性。

1扭转梁后桥有限元模型的建立

根据零部件技术规范（cts）中提供的硬点坐标和剪切中心坐标，及周围接口零部件包络的静态和动态间隙要求，建立初版扭转梁后桥数模。将该数模导入hypermesh中，并对导入的模型进行几何清理，从几何模型中抽取中而建立高质量的网格模型。对于等板厚的冲压焊接件，可采用壳单元进行零件网格划分，网格大小设为5 mm。为了确保仿真分析的准确性，需要对划分的网格进行质量检查，修改不合格的网格，尽量减少三角形网格数量。为了提高计算精度，焊缝采用四边形单元网格，并对关键区域进行网格细化处理。

2扭转梁后桥强度及疲劳寿命校核

根据零部件技术规范（cts）中的零部件试验要求，应用多体动力学软件adams/car可计算出各工况的静态载荷，生成载荷数据文件作为扭转梁后桥结构强度分析的输入。通过计算后桥应力结果与材料许用应力可反映产品设计强度的可靠性。

扭转梁后桥侧向力疲劳试验载荷为正弦波，加载位置在车轮中心点，载荷循环的周期范围要求在4hz～16hz（本文选取4hz），应力幅值要求：下限载荷为-5.5kn，上限载荷4.5kn。扭转梁后桥减振器力疲劳试验载荷为正弦波，加载位置在减振器支架几何中心，载荷循环的周期范围要求在4hz～25hz（本文选取4hz），应力幅值要求：下限载荷为4.5kn，上限载荷7.5kn。

n求解器算出扭转梁后桥在侧向力和减振器力载荷下的应力结果。life中，结合材料e-n曲线，可计算出扭转梁后桥的疲劳分析结果。原设计后桥侧向力耐久试验和减振器力耐久试验应力分布结果如图3和图4所示，对应的疲劳寿命分别为11.4万次和5.6万次。

3扭转梁后桥结构优化

由侧向力耐久试验和减振器力耐久试验疲劳仿真分析结果可见，虽然该扭转梁后桥满足结构强度的要求，但cts中的疲劳要求为20万次，原设计后桥结构存在较大风险，需进行结构优化，使其满足cts中的疲劳寿命要求。

扭转梁后桥进行侧向力台架试验时，悬架臂和减振器支架承受较大侧向力。在原设计中，在悬架臂与法兰板连接区域有两个螺栓紧固套筒安装孔，该区域应力较大为230 mpa，从仿真结果中可以看出，在循环载荷作用下该区域将会出现疲劳破坏，且疲劳寿命仅为11.4万次，不满足cts中20万次要求，需强化该区域结构。为强化该区域，须尽量扩大该区域有效的受力面积，增加该区域材料且型面光滑过渡，优化工具孔周边形貌。如图5所示。該设计强化了悬架臂工具安装孔周边薄弱区域，有效的降低该区域应力至168mpa，提高了耐久寿命至34.7万次，满足cts中侧向力台架疲劳试验20万次的要求。

扭转梁后桥进行减振器力台架试验时，减振器支架和弹簧盘承受较大垂向力。在该设计中，减振器支架和弹簧盘支架连接区域应力较大为294mpa，从仿真结果中可以看出，在循环载荷作用下该区域将会出现疲劳破坏，且疲劳寿命仅为5.6万次，不满足cts中20万次要求，需强化该区域结构。应尽量加大连接区域的有效焊接搭接量，在满足螺栓安装空间的同时，增加该区域材料且型面光滑过渡。如图6所示。

该设计强化了减振器支架周围薄弱区域，有效的降低该区域应力至217 mpa，提高了耐久寿命至20.6万次，满足cts中减振器力台架疲劳试验20万次的要求。优化前后后桥强度和疲劳寿命仿真分析结果对比如表2所示。

4扭转梁后桥疲劳试验分析

扭转梁后桥结构优化后，各项性能均满足cts中的要求。该版设计锁定后，即可用于后续的样件制造和样件台架耐久试验，为进一步验证优化方案的准确性和有效陛，现进行实物样件的试验验证。

该扭转梁后桥样件在侧向力耐久试验和减振器力耐久试验加载要求与仿真分析要求一致。侧向力耐久试验，后桥衬套与台架按照车身安装角度进行连接，横梁中部固定，作动器加载至车轮中心位置，方向为整车坐标y向，台架布置如图7所示。样件减振器力耐久试验，后桥衬套与台架按照车身安装角度进行连接，车轮中心固定，作动器加载至减振器支架几何中心，方向为整车坐标z向，台架布置如图8所示。

台架试验结果与优化后仿真结果对比如表3所示，结果趋势基本一致，且满足cts中疲劳寿命20万次的要求。

5总结

在竞争激烈的轿车行业，对于成本控制的要求越来越高。采用有限元模拟在设计初期阶段通过仿真分析方法为结构设计提出有效合理地优化方案，已成为企业提高产品开发设计能力的关键所在。

本文以扭转梁后桥设计开发、优化为例，优化后的后桥结果在侧向力耐久试验和减振器力耐久试验仿真分析中，局部最大应力分别降低27%和26%，耐久疲劳寿命分别提高204%和269%。在实际的台架试验中，耐久疲劳寿命与仿真分析结果基本一致，有效的验证了优化方案的合理性和准确性。

仿真优化模型篇四

数学建模作业 题目：研究生录取问题优化模型 队员：
姓名：
姓名：
姓名：
2011年x月x日 研究生录取问题优化模型 摘要：
本文针对研究生录取问题,建立了模糊综合评价模型和一般指派问题的规划模型，基本解决了研究生录取问题。首先,利用模糊综合评价模型对学生的综合成绩加以量化以及学生导师的满意程度，导师对学生的满意程度进行了量化；
其次,利用一般指派问题的规划模型制定了学生和导师的最佳双向选择方案；
最后,给出了一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，依次建立了三个模型。

在模型（1）中，对等级量化后要求先按分数择优录取，然后，根据模糊评价及柯西隶属函数，给出建立了10名研究生与10名导师之间最佳双向选择方案的多级综合评价数学模型，使师生双方的“满意度”达到最大；
模型（2）在模型（1）的基础上，加上一对一的约束条件建立优化模型，从而可以得出一名导师带一名研究生的最佳方案；
而模型（3）应用双向选择方法，让10名导师和10名研究生之间做双向选择，并给出了双向选择策略。

在模型中，我们定义了一个满意度（即学生与导师的相互满意程度）来度量学生与导师的配合方案，满意度越大，人员分配方案就越优。最后利用lingo,matlab数学软件求解模型即可。

关键词：研究生；
录取；
模糊综合评价；
指派问题；
双向选择；
柯西隶属函数。

1问题重述 目前，我国根据素质教育和培养高素质合格人才的需要，要求各高校都对硕士研究生的录取方法进行了改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试及考核的作用。现有某高校计划招收10名计划内研究生，具体的招收录取办法和程序如下：
（一）公开考试：在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例（共15人）选择进入复试（第二阶段专家考核）的名单。

（二）复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面，思维的创造性，灵活的应变能力，文字和和口头的表达能力和外语水平等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个研究生的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成a/b/c/d四个等级。

（三）然后，由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。

(四)最后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿，导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；
导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。

该高校拟将录取的10名研究生与10名导师进行双向选择，在使师生双方满意度最大的条件下，进行最优的人员配比。在这里，我们所要解决的问题是要将面试的评分等级进行量化，用加权的方法对各个研究生进行评分，然后分别在按需和按志愿两种情况下对人员进行择优录取，给出最优录用分配方案。

2 模型假设 （1）假设专家对研究生的专长的评分是客观公正的，没有作弊或歧视一位录取学生而故意打过高或过低分值的现象；

（2）假设在研究生录用考试的第一步（笔试）中已经设置了考察学生各种能力的题目，难度和比例都比较合理，即笔试已经对学生各种能力做了比较全面的测试；

（3）考生填报的志愿要尽量满足，专业不对口将大大降低学生和导师的满意度；

（4）假设研究生所填报的志愿不存在调剂现象。

3 定义与符号说明 :专家对学生5项指标的评价 ：第个学生的第个项专长的复试成绩 ：第个学生的复试成绩 ：第个学生的笔试成绩 ：第个学生规范化的笔试成绩 ：第个学生的综合成绩 : 满意度,即学生与导师之间的相互满意程度 ：第i 个导师对第j 个研究生的第项条件的综合评价满意度 ：第i 个导师对第j 个研究生的五项条件的综合评价满意度 ：第j 个学生对第i 个导师的综合评价满意度 ：导师学生双方相互综合满意度 4 问题分析 学校计划招生的10名研究生，由初试上线的前15名学生参加复试专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为a,b,c,d四个等级。该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平以及对学生的期望要求。综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。

问题主要要求 （1）对导师和学生的综合评价及择优选择问题；
首先，由于各专家对每一个学生的五项条件都有一个主观评判结果，则可据此确定各专家对每一个学生的五项条件的量化分值，再综合8名专家的评分就可以得到每个学生的量化得分；
然后由初试成绩与复试成绩规范化后的综合成绩排序择优录取10名研究生。

（2）
最佳双向选择问题。包括两个方面对一选择（每一名导师只带一名学生) ;一对多选择(一个导师选多个学生) 。用模糊评判及权重的相关知识分别确定学生对导师，导师对学生的满意度，而最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大。

（3）根据初试成绩、专家组的面试评价以及导师对学生的要求条件,确定录取研究生的新方案；
在模型二的基础之上添加约束条件，利用0-1规划知识求解便可 （4）充分考虑学生的申报志愿情况,给出一种导师和研究生的选择方案, 以及每一名导师带2 名研究生的双向选择最佳策略。首先在充分考虑考生志愿和专业平衡的条件下，给出了5名导师和10名学生的选择策略，然后，在此基础上采用虚拟导师的方法转化为问题（二）中的情况进行求解。

（5）设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案。最终使师生双方的满意度最大 5 模型建立与求解 5.1模糊综合评价模型 5.1.1学生复试成绩的量化 学生的五项条件都具有一定的模糊性, 评价分为a，b，c, d四个等级, 即构成模糊集不妨设相应的评语集为{很好, 好, 较好, 差}, 对应的数值为：根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数：
(1) 其中为待定常数，实际上, 当评价为“很好”时, 则隶属度为1, 即; 当评价为“较好”时, 则隶属度为0.8, 即; 当评价为“很差”时(在这里没有此评价) ,则认为隶属度为0.01, 即；

于是, 可以确定出，，，，代入公式（1）得到相应的隶属函数，经计算的，；
则专家对学生各单项指标的评价(评语集) {a ,b , c,d } = {很好, 好, 较好,差} 的量化值为。根据题目数据可以得到各名专家对每一个学生的五项条件的评价矩阵：
，，由于8 名专家的地位应该是平等的, 于是综合8 名专家评价结果可以得到15 个学生的五项条件的复试得分为：
同样学生的五项条件在综合评价中的地位也应该是同等的, 则15 个学生的综合复试得分可表示为：
5.1.2 初试成绩的规范化 为了便于将初试成绩与复试成绩做统一的比较处理, 用极差规范化方法作相应的规范化理. 初试得分的规范化：
5.1.3 学生的综合成绩 由于不同的学校对待初试和复试成绩的重视程度可能会不同，而且根据题目加大了复试的作用，这里给学生的初始成绩和复试成绩加权，分别赋于权系数，则学生的综合分数为：
根据学生的综合成绩，按从大到小排序就可以择优录取10名研究生。

5.1.4 导师对学生的满意度 导师对学生有五方面的专长要求，相应每位学生都有专家对其五项专长面试的得分，导师对学生的要求和专家对学生专长的评价都有四个等级, 并且都具有模糊性, 即构成模糊指标集， 五个指标元素分别为灵活性、创造性、专业面、表达力、外语.。每一位导师对学生的每一项指标都有一个“满意度”，将即反映导师对某项指标的要求与学生实际水平差异的程度. 导师对学生的要求和专家对学生专长的得分进行比较，如果专家对学生专长的得分与导师对学生的要求相符合用4表示，如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求要求高一个等级，两个等级，三个等级，分别用5，6,7表示, 如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求低一个等级，两个等级，三个等级分别用3,2,1表示,于是认为导师对学生某项指标的满意程度可以分为“很不满意、不满意、不太满意、基本满意、比较满意、满意、很满意”七个等级, 即构成了评语集 ， 并赋相应的数值{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。根据实际情况, 则可以取类似于(1) 式的近似偏大型柯西分布隶属函数：
实际上, 当“很满意”时, 则满意度的量化值为1, 即；

当“基本满意”时, 则满意度量化值为0.8, 即；
当“很不满意”时, 则满意度量化值为0.01, 即。于是, 可以确定出相应的参数为, ，，。经过计算的经计算得，，，，则导师对学生各单项指标的满意程度的量化值为：。将已录取的10 名研究生重新编号, 依次从1 到10, 根据题目中关于这10 名研究生的评价数据, 可以分别计算得到每一个导师对每一个研究生的各单项指标的满意程度的量化值, 分别记为：
类似地, 第个导师对第个研究生的第项指标的综合满意度为：
第i个导师对第j个研究生的五项条件的综合评价满意度为：
于是可得10名导师对10名研究生的满意度矩阵：
5.1.5学生对导师的满意度 学生对导师的满意度主要与导师的学术水平有关, 同时考虑到学生所喜好的专业方向, 在评价导师时一定会偏向于自己喜好的导师, 即专业方向也是决定学生选择导师的一个因 素。因此, 影响学生对导师满意度的有五项指标: 专业方向、发表论文数、被检索数、著作数和科研项目数。学生对导师的满意度也可以通过隶属函数把模糊的等级量化。

对专业方向来说, 主要是看是否符合自己发展的专业方向, 符合第一、二志愿的分别为 “满意、基本满意”, 不符合志愿的为“不满意”, 于是评语集为三个等级, 即{满意, 基本满意,不满意}，满意度为1, 不符合任一个志愿时满意度为0, 根据实际情况, 在这里取隶属函数为，并要求, 经过计算得，，代入上式可以的到， 即得到评语集{满意, 基本满意, 不满意} 的量化值为。这样每一个研究生对每一个导师都有一个满意度权值, 即满足第一志愿取权为1, 满足第二志愿取权值为0.6309, 不满足志愿取权值为0。对于反映导师学术水平的四项指标的评语集为五个等级, 即{很不满意, 不满意, 基本满意, 满意, 很满意}, 类似于上面确定导师对学生的满意度的方法.，首先确定导师学术水平指标的客观量化值: 记10 名导师的四项学术指标的平均值为；
最大值；
最小值为, 等级差为：
可以取近似的偏大型柯西分布隶属函数 当时, 学生为对导师“基本满意”, 则满意度量化值为0.9, 即；
当某项指标处于最高值时, 学生对导师“很满意”, 则满意度的量化值为1, 即; 当某项指标处于最低值时, 学生对导师“很不满意”, 则满意度量化值为0.01, 即；
通过计算可以确定出四项指标的隶属函数为。由实际数据可计算出学生对每个导师的各单项指标的满意度量化值, 即对导师水平的客观评价：。于是, 每一个学生对每一个导师的四个单项指标的满意度应为导师的客观水平评价值与学生对导师的满意度权值的乘积, 即：
则第j 个学生对第i 个导师的综合评价满意度为：
于是可得学生对导师的满意度矩阵 5.1.6 双方的相互综合满意度 根据上面的讨论, 每一个导师与任一个学生之间都有相应的单方面的满意度, 双方的相 互满意度应有各自的满意度来确定, 在此, 取双方各自满意度的几何平均值为双方相互综合 满意度, 即：
5.2 指派问题的规划模型（问题1的模型）
最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大，首先考虑学生的选择方案。设决策变量 于是问题可以归结为下面规划问题: 5.3指派问题的规划模型（问题2的模型）
5.4 问题(3) (1) 确定导师组对学生的综合评价指标：
由于题目中没有给出导师对学生的评分, 在这里让10 名导师综合15 名学生的初试成绩、专家组的面试成绩和他们自己对学生的要求条件给出一个综合评价, 据此确定选优录取10 名研究生. 然后, 在不考虑学生原有的专业志愿的情况下, 让10 名导师和10 名研究生之 间做双向选择.类似于(3) 式和(4) 式的方法, 可以得到第i 位导师对j 个学生的第l 项指标的综合满意度为：
则第i个导师对第j个研究生的五项条件的综合评价满意度为：
于是10名导师对对15名研究生各自的综合满意度为：
极差规范化处理后：
即得10 名导师对15 名学生的综合评价指标向量 综合考虑导师对学生的综合评价指标s ′j 和学生的综合成绩cj (即(2) 式) , 就可以得到 学生的综合实力指标. 事实上, 对于每一个学生都存在一个客观的实力指标值 ，跟据此引入绝对偏差函数：
；
其中，为优先因子 5.4.1 确定双向选择策略 首先考虑导师选择学生的策略：
设10 名导师为局中人, 即局中人集合为 每个局中人的策略集均为10 名学生, 即如果导师 i 选择学生, 则的赢得为 (仿(4) 式可得) , 则有对策模型并设：
于是问题转化为：
（9）
求解可以得到导师选择学生的策略。

同理, 考虑学生选择导师的策略设10 名学生为局中人, 即局中人集合为，每个局中人的策略集均为10 名导师, 即 如果学生选择导师则的赢得为 (仿(5) 式可得) , 则有对策模型, 并设：
问题转化为: （10）
可求得学生选择导师的策略。

根据模型(9) 和模型(10) 的求解结果, 如果导师选择学生的策略和学生选择导师的策 略相同, 即导师和学生相互选中, 则就退出系统. 对于剩下的再重新做双向选择, 类似于(9) 和(10) 式建立相应的优化模型并求解, 直到确定出每位导师带一名学生为止. 6 模型评价及改进 本研究模型的主要创新点有: 1 以双向选择模型为原型,成功地解决了在研究生录取过程中的双向选择问题获取最优解及如何调动导师和学生积极性的问题,将抽象的指标体系量化为可计算的参数,得到合理的判定结果,该模型可以推广至其他扩充条件下的求解。

2 提出了双向选择模型的建模分析实现技术,通过对该模型的计算机处理,在获取原始输入数据之后,以结构化的形式输出决策结果,具有非常强的时效性。

3 提出的双向选择模型具有通用性,可以方便地应用到公务员考试录用、企业人才招聘、高考录取等人才录用过程。

4 模型具有广泛的普遍性和适用性、扩展性、伸缩性,只要改变其中的部分参数值,即可应用于其它问题。以此模型为理论基础,可制定出其他的人才选择最优策略,具有强烈的现实意义。

模型缺点：模型的权值虽然都有文献依据，但具有一定的主观性是不可避免的。