1.1正数和负数

知识点归纳

一、 正数和负数的定义

0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。

-”的数叫做负数。负数前面的负号“

-”不能省略。

eg：-a不一定是负数，因为字母a可以表示任何数，当a是正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a则是一个正数，而不是负数；当a表示0时，-a就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。

二、具有相反意义的量

正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。 常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。

三、0的意义（重点理解）

0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已经不仅是表示“没有”。

典型例题

1、下列说法不正确的是（）

a．0不是正数，也不是负数 b．负数是带有“-”的数，正数是带有“+”的数

c．非负数是正数或0 d．0是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”

2、水位上升-0.5cm的意义是（）

a．水位上升0.5cmb．水位下降0.5cmc．水位没有变化d．水位下降了5cm

3、下列说法错误的是（）

a．-5一定是负数b．在正数前面加上“-”就成了负数

c．自然数一定是正数  d．-a不一定是负数

4、下列说法正确的有（）

①不带负号的数都是正数 ②带负号的数不一定是负数 ③0℃表示没有温度 ④0既不是正数，也不是负数

a.0个 b.1个 c.2个 d3个

5、在跳远测验中，合格标准是4.00m，小明跳出了4.18m，记作+0.18m，小华跳出了3.96m，应记作＿＿＿＿

6、-1,2，-3,4，-5＿＿，＿＿，＿＿，第81个数是＿＿，第2005个数是＿＿。

7、峨眉山上某天的最高气温为12℃，最低气温为-4℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）

a.4b.8℃c.12℃d.16℃

8、一架飞机在距离地面1500米的高空飞行，它第一次下降了-200米，第二次又上升了-100米，第三次下降了300米，此时飞机距离地面多高？

9、某蓄水池的标准水位记为0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么

（1）0.08m和-0.2m各表示什么？

（2）水面低于标准水位0.1m和高于标准水位0.23m各表示什么？

10、2006年我国全年平均降水量比上年减少24毫米，2005年比上年增长8毫米，2004年比上年减少20毫米。用正数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量

1.2.1有理数

知识点归纳

一、有理数的概念

正整数、0

注：（1）正整数、0

（2

（3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。

（4）我们把有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。

（5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。

按数的种类分 按有理数的性质分

正整数正整数正有理数整数0正分数负整数有理数0有理数负整数正分数负有理数分数负分数负分数

注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。

（2

）0

（3）0

（4）0

（5）0

典型例题

1、-7是（）

a.自然数  b.负分数  c.非负数  d.负整数

2、所有的正整数和负整数结合在一起构成（）

a.整数集合  b.有理数集合 c.自然数集合d.以上说法都不对

3、关于0的说法，正确的有（）

①是整数②不是正数，也不是负数 ③是最小的整数  ④是自然数

a.1个  b.2个  c.3个  d.4个

4、下列说法不正确的是（）

a.-0.5是分数 b.0不是正数也不是负数 c.整数和分数统称为有理数  d.0是最小的正数

5、下列说法错误的是（）

a．负整数和负分数统称为负有理数  b．正整数，0，负整数统称为整数

c．正有理数和负有理数组成全体有理数 d．3.14是小数，也是分数

6、下列说法正确的的是（）

a.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数  b.一个有理数不是整数就是负数

c.一个有理数不是整数就是分数 d.以上说法都正确

7、44。

7,,0,0.3四个数中，有理数的个数为（  ）

a.1个  b.2个  c.3个  d.4个

8.有理数中，是整数而不是正数的是（），是分数而不是正分数的是（ ）。

9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（  ）。

10、整数与分数统称为（  ），整数包括（），分数包括（ ）。

11、通常把（）和（）统称为非负整数，把（  ）和（  ）统称为非正整数；把（（）统称为非负数，把（）和（）统称为非正数。

12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。

9.3,6,33

4,71

3,0,100,3

4,2.25,0.01,65,

23。

7,100, 0.21.

(1)正整数集合：{ }

(2)负整数集合：{ }

(3)正分数集合：{ }

(4)负分数集合：{ }

(5)整数集合：{}

）和

(6)分数集合：{}

(7)有理数集合：{ }

1.2.2数轴

知识点归纳

一、数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意事项：

二、数轴的画法（重点）

画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。

其步骤如下：

1、画一条水平的直线；

2、在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下方标上“0”）；

3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来；

4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度选取一点，依次表示1,2,3，；从原点向左，每隔一个单位长度选取一点，依次表示-1，-2，-3，。

三、数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个长度单位；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个长度单位。

四、利用数轴比较大小（重点、难点）

1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0  （2）负数都小于0  （3）正数大于负数

1、规定了（  ）、（  ）、（  ）的直线叫做数轴。

2、在数轴上表示数-3的点在原点的（ ），与原点的距离为（  ）个长度单位。

3、在数轴上到原点距离是2.5个长度单位的点表示的数是（）。

4、p点表示的数是-1，到p点4个单位长度的点表示的数是（ ）。

5、一个动点从表示1的点出发，先向左移动2个单位，再向右移动3个单位长度，则终点离原点的距离是（）个单位长度。

6、若点a表示数-3，点b表示数7，那么a、b间的距离是（ ）。

7、下列图中表示数轴的是（ ）.

a.b.

c.d.

8、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一

条长2005cm的线段ab，则线段ab盖住的整点有（ ）

a. 2003或2004个 b.2004或2005个  c.2005或2006个  d.2006或2007个

9、画出数轴，用数轴画出表示下列各点的数并用“>”连接起来。

4，-2，-4.5，0，1,2

10、如图，写出数轴上点a、b、c、d、e表示的数。

11、小敏家、学校、邮局、图书馆坐落在同一条东西走向的大街上，依次记为a，b，c，d，

学校位于小敏家西150m，邮局位于小敏家东100m，图书馆位于小敏家西400m。

（1）

（2） 用数轴表示a，b，c，d的位置. 一天小敏从家里以每分钟50m的速度先去邮局寄信后又往图书馆方向共走了8min.试问小敏这时134 5约在什么位置？距离图书馆和学校各约多少米？

1.2.3相反数

知识点归纳

一、相反数的概念

只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；特别地，0的相反数是0.

注：（1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能把它漏掉.

（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数.

（3）“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同以外数字完全相同，不要理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.

二、相反数的意义

任何一个数都有相反数，而且只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数

第一章 有理数 知识点归纳

1.1正数和负数 以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。

以前学过的0以外的数叫做正数。

数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。

1.2有理数 1.2.1有理数

正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1.2.2数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法

有理数的加法法则：

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a＋b＝b＋a

加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。 a－b＝a＋(－b)

1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法

有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

乘积是1的两个数互为倒数。

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；

负因数的个数是奇数时，积是负数。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab＝ba

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c＝a（bc）

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a（b＋c）＝ab＋ac

数字与字母相乘的书写规范：

⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”

⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。

⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。

去括号法则：

括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。 括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

1.4.2有理数的除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a÷b＝a·1(b≠0) b

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

1.5有理数的乘方1.5.1乘方

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，n叫做指数，

当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

负数的奇次幂是负数，负数的'偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数混合运算的运算顺序：

⑴先乘方，再乘除，最后加减；

⑵同极运算，从左到右进行；

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

1.5.2科学记数法

科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一

位的数，n是正整数。

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。

1.5.3近似数和有效数字

近似数：接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

有效数字：从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这

个数的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。

有理数知识点总结

0的数叫做正数。

0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，

一、正数和负数自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）

2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

有理数：整数和分数统称有理数。

整  数：正整数、0、负整数统称为整数。

分  数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非

负整数，负整数和零统称为非正整数。

⑵按整数、分数分类：

正有理数 正整数 正整数  正分数  整数  0  零 有理数 负整数  负有理数 负整数分数  正分数负分数 负分数

概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

三、数轴

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。

3.

求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。  （注意不带“+”“—”号）

代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

概念（0的相反数是0）

几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，

若a＋b=0，则a与b互为相反数。

四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

3.

多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数，

概念：乘积为1的两个数互为倒数。

（倒数是它本身的数是±1；0没有倒数）

五、倒数

2.性质 若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。

若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。

a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）

一个负数的绝对值是它的相反数

的绝对值是0

a ＞0，|a|=a  反之，|a|＝a，则a≥0

a = 0， |a|=0  |a|＝﹣a，则a≦0

a＜0， |a|=‐a

注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。

|a|≥0。几个非负数之和等

于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0

1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并

用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相

加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

八、加减法2.加法运算律：两个

加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a

加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后

两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a－b=a＋（﹣）b

⑴两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

⑵任何数同0相乘，都得0。

1.⑶多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数

的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，

绝对值的积就是积的绝对值。

⑷多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则

至少有一个因数是0。

2.乘法运算律：三个

⑴乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba。

九、乘除法  ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，

积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。

⑶乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相

乘，在把积相加。即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。

3.除法法则：三个

⑴除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。

⑵两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

⑶0除以任何一个不等于0的数，都得0。

四则运算法则：先乘除，后加减，有括号先算括号里的。

看做这个数本身的一次方。

2.法则：先确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

十、乘方正数的任何次幂都是正数

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

0的任何正整数次幂都是0

3.混合运算法则：

⑴先乘方，再乘除，最后加减。

⑵同级运算，从左到右的顺序进行。

⑶如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进

行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。

10的数表示成a×10n的形式（其中a

是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科

学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚

－注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n1

⑴精确到某位或精确到小数点后某位。

⑵保留几个有效数字

十一、科学记数法 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示。  例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105

0数字起，到末尾数字止，所有的

数字都是这个数的有效数字。

注：⑴用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数

字。例如：3.0×104的有效数字是3，0 。

⑵带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。

例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。

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