1．(2011?泰州)四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，给出下列四组条件：①ab∥cd，ad∥bc；②ab＝cd，ad＝bc；③ao＝co，bo＝do；④ab∥cd，ad＝bc.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有()
a．1组b．2组c．3组d．4组
答案c
解析四组条件中，①②③可作为判定平行四边形的条件；④不可以，因为等腰梯形有ab∥cd，ad＝bc.
2．(2011?宁夏)点a、b、c是平面内不在同一直线上的三点，点d是平面内任意一点，若a、b、c、d四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点d有()
a．1个b．2个c．3个d．4个
答案c
解析如图，可画出平行四边形三个，符合条件的点d有三个．
3．(2011?达州)如图，在?abcd中，e是bc的中点，且∠aec＝∠dce，则下列结论不正确的是()
a．s△afd＝2s△efb
b．bf＝12df
c．四边形aecd是等腰梯形
d．∠aeb＝∠adc
答案a
解析因为e是bc的中点，所以be＝12bc，又四边形abcd是平行四边形，所以ad∥bc，△afd∽△efb，s△efbs△afd＝bead2＝122＝14，故s△afd＝4s△efb.
4．(2011?安徽)如图，d是△abc内一点，bd⊥cd，ad＝6，bd＝4，cd＝3，e、f、g、h分别是ab、ac、cd、bd的中点，则四边形efgh的周长是()
a．7b．9c．10d．11
答案d
解析∵e、f是ab、ac的中点，
∴ef綊12bc.
∵h、g是bd、cd的中点，
∴hg綊12bc.
∴ef綊hg，四边形efgh是平行四边形．
∵e、h是ab、bd的中点，
∴eh＝12ad＝3.
在rt△bcd中，bc＝32＋42＝5，所以?efgh的周长＝2×3＋52＝11.
5．(2011?浙江)如图，△abc和△ade都是等腰直角三角形，∠bac＝∠dae＝90°，四边形acde是平行四边形，连结ce交ad于点f，连结bd交ce于点g，连结be.下列结论中：
①ce＝bd；②△adc是等腰直角三角形；③∠adb＝∠aeb；④cd?ae＝ef?cg；
一定正确的结论有()
a．1个b．2个c．3个d．4个
答案d
解析①∵∠bac＝∠dae＝90°，∴∠bac＋∠dac＝∠dae＋∠dac，即∠bad＝∠cae.
∵△abc和△ade都是等腰直角三角形，
∴ab＝ac，ae＝ad，
∴△bad≌△cae(sas)，∴ce＝bd，故①正确．
②∵四边形acde是平行四边形，
∴∠ead＝∠adc＝90°，ae＝cd.
∵△ade是等腰直角三角形，∴ae＝ad，
∴ad＝cd，∴△adc是等腰直角三角形，故②正确．
③∵△adc是等腰直角三角形，
∴∠cad＝45°，∴∠bad＝90°＋45°＝135°.
∵∠ead＝∠bac＝90°，∠cad＝45°，
∴∠bae＝360°－90°－90°－45°＝135°，
∴∠bad＝∠bae.
又∵ab＝ab，ad＝ae，∴△bae≌△bad(sas)，
∴∠adb＝∠aeb，故③正确．
④∵△bad≌△cae，△bae≌△bad，
∴△cae≌△bae，∴∠bea＝∠aec＝∠bda.
∵∠aef＋∠afe＝90°，∴∠afe＋∠bda＝90°.
∵∠gfd＝∠afe，∴∠gdf＋gfd＝90°，
∴∠cgd＝90°.
∵∠fae＝90°，∠gcd＝∠aef，∴△cgd～△eaf，
∴cdef＝cgae，∴cd?ae＝ef?cg，故④正确．
正确的结论有4个，选d.
6．(2011?苏州)如图，在四边形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，ac、bd相交于点o.若ac＝6，则线段ao的长度等于___________．
答案3
解析∵ab∥cd，ad∥bc，
∴四边形abcd是平行四边形．
∴ao＝co＝12ac＝12×6＝3.
7．(2011?聊城)如图，在?abcd中，ac、bd相交于点o，点e是ab的中点，oe＝3cm，则ad的长是__________cm.
答案6
解析在?abcd中，bo＝do，
∵点e是ae中点，
∴ae＝be，
∴eo是△abd的中位线．
∴oe＝12ad，
∴ad＝2×3＝6cm.
8．(2011?临沂)如图，?abcd中，e是ba延长线上一点，ab＝ae，连结ce交ad于点f，若cf平分∠bcd，ab＝3，则bc的长为________．
答案6
解析在?abcd中，ab∥dc，
∴∠e＝∠dcf.
∵cf平分∠bcd，
∴∠dcf＝∠bce，
∴∠e＝∠bce，
∴bc＝be.
∵ab＝ae＝3，
∴be＝6.
即bc＝6.
9．(2011?泉州)如图，在四边形abcd中，p是对角线bd的中点，e、f分别是ab、cd的中点，ad＝bc，∠pef＝18°，则∠pfe的度数是__________．
答案18°
解析∵p是bd的中点，e、f分别是ab、cd的'中点，
∴pe＝12ad，pf＝12bc.
∵ad＝bc，
∴pe＝pf，
∴∠pfe＝∠pef＝18°.
10．(2011?金华)如图，在?abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，过bc的中点e作ef⊥ab，垂足为点f，与dc的延长线相交于点h，则△def的面积是__________．
答案23
解析在rt△bef中，∠abc＝60°，be＝12bc＝12ad＝12×4＝2.
∴bf＝1，ef＝3.
易证△bef≌△ceh，∴bf＝ch＝1，ef＝eh＝3，
∴s△def＝s△deh＝12dh?eh＝12×(3＋1)×3＝23.
三、解答题
11．(2011?宜宾)如图，平行四边形abcd的对角线ac、bd交于点o，e、f在ac上，g、h在bd上，af＝ce，bh＝dg.
求证：gf∥he.
解证明：在平行四边形abcd中，oa＝oc，
∵af＝ce，∴af－oa＝ce－oc，即of＝oe.
同理可证，og＝oh.
∴四边形egfh是平行四边形．
∴gf∥he.
12．(2011?福州)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形abcd是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)
关系：①ad∥bc；②ab＝cd；③∠a＝∠c；④∠b＋∠c＝180°.
已知：在四边形abcd中，__________，__________；
求证：四边形abcd是平行四边形．
解选①、③.
证明：∵ad∥bc，∴∠a＋∠b＝180°.
∵∠a＝∠c，
∴∠c＋∠b＝180°，
∴ab∥dc.
∴四边形abcd是平行四边形．(选①④、③④均可)
13．(2011?义乌)如图，已知e、f是?abcd对角线ac上的两点，且be⊥ac，df⊥ac.
(1)求证：△abe≌△cdf；
(2)请写出图中除△abe≌△cdf外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．
解(1)证明：∵四边形abcd是平行四边形，
∴ab＝cd，ab∥cd，
∴∠bae＝∠fcd.
又∵be⊥ac，df⊥ac，
∴∠aeb＝∠cfd＝90°，
∴△abe≌△cdf(aas)．
(2)①△abc≌△cda；②△bce≌△daf.
14．(2011?广东)如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe.已知∠bac＝30°，ef⊥ab，垂足为f，连接df.
(1)试说明ac＝ef；
(2)求证：四边形adfe是平行四边形．
解(1)在rt△abc中，∠bac＝30°，
∴bc＝12ab，ac＝32ab.
在等边△abe中，ef⊥ab，
∴∠afe＝90°，af＝12ae，ef＝32ae＝32ab，
∴ac＝ef.
(2)在等边△acd中，∠dac＝60°，
∴∠daf＝60°＋30°＝90°＝∠efa，
∴ad∥ef.
又ad＝ac＝ef，
∴四边形adef是平行四边形．
15．(2011?北京)在?abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f.
(1)在图1中证明ce＝cf；
(2)若∠abc＝90°，g是ef的中点(如图2)，直接写出∠bdg的度数；
(3)若∠abc＝120°，fg∥ce，fg＝ce，分别连结db、dg(如图3)，求∠bdg的度数．
解(1)证明：如图1，
∵af平分∠bad，
∴∠baf＝∠daf.
∵四边形abcd是平行四边形，
∴ad∥bc，ab∥cd.
∴∠daf＝∠cef，∠baf＝∠f，
∴∠cef＝∠f，∴ce＝cf.
(2)∠bdg＝45°.
(3)解法一：分别连接gb、ge、gc(如图4)．
∵ab∥dc，∠abc＝120°，
∴∠ecf＝∠abc＝120°.
∵fg∥ce且fg＝ce，
∴四边形cegf是平行四边形．
由(1)得ce＝cf,∴?cegf是菱形，
∴eg＝ec，∠gcf＝∠gce＝12∠ecf＝60°.
∴△ecg是等边三角形．
∴eg＝cg，…①
∴∠gec＝∠egc＝60°，
∴∠gec＝∠gcf，
∴∠beg＝∠dcg，…②
由ad∥bc及af平分∠bad可得∠bae＝∠aeb，
∴ab＝be.
在?abcd中，ab＝dc，
∴be＝dc，…③
由①②③得，△beg≌△dcg.
∴bg＝dg，∠1＝∠2，
∴∠bgd＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠egc＝60°.
∴∠bdg＝12(180°－∠bgd)＝60°.
解法二：延长ab、fg交于h，连接hd，如图5，
易证四边形ahfd是平行四边形．
∵∠abc＝120°，af平分∠bad，
∴∠daf＝30°，∠adc＝120°，∠dfa＝30°，
∴△daf为等腰三角形，∴ad＝df，
图5
∴平行四边形ahfd是菱形，
∴△adh、△dhf为全等的等边三角形，
∴dh＝df，∠bhd＝∠gfd＝60°.
∵fg＝ce，ce＝cf，cf＝bh，
∴bh＝gf.
∴△bhd≌△gfd，∴∠bdh＝∠gdf，
∴∠bdg＝∠bdh＋∠hdg＝∠gdf＋∠hdg＝60°.
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