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人教版数学必修教学设计及反思数学必修四教学计划篇一

人教版数学必修教学设计及反思数学必修四教学计划篇二

本章教材分析

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.

本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.

在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.

本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：

(1)知识间的联系;

(2)数学思想方法;

(3)认知规律.

本章教学时间约需12课时，具体分配如下(仅供参考)：

1.1.1 算法的概念 约1课时

1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 约4课时

1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 约1课时

1.2.2 条件语句 约1课时

1.2.3 循环语句 约1课时

1.3算法案例 约3课时

本章复习 约1课时

1.1 算法与程序框图

1.1.1 算法的概念

整体设计

教学分析

算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为 了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.

三维目标

1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.

2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思 路.

3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.

重点难点

教学重点：算法的含义及应用.

教学难点：写出解决一类问题的算法.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1(情境导入)

一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.

思路2(情境导入)

大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步?

答案：分三步，第一步：把冰箱门打开;第二步：把大象装进去;第三步：把冰箱门关上.

上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.

思路3(直接导入)

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)解二元一次方程组有几种方法?

(2)结合教材实例 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.

(3)结合教材实例 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤.

(5)根据上述实例谈谈你对算法的理解.

(6)请同学们总结算法的特征.

(7)请思考我们学习算法的意义.

讨论结果：

(1)代入消元法和加减消元法.

(2)回顾二元一次方程组

的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：

第一步，①+②×2，得5x=1.③

第二步，解③，得x= .

第三步，②-①×2，得5y=3.④

第四步，解④， 得y= .

第五步，得到方程组的解为

(3)用代入消元法解二元一次方程组

我们可以归纳出以下步骤：

第一步，由①得x=2y-1.③

第二步，把③代入②，得2(2y-1)+y=1.④

第三步，解④得y= .⑤

第四步，把⑤代入③，得x=2× -1= .

第五步，得到方程组的解为

(4)对于一般的二元一次方程组

其中a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：

第一步，①×b2-②×b1，得

(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③

第二步，解③，得x= .

第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④

第四步，解④，得y= .

第五步，得到方程组的解为

(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都 应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.

(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.

应用示例

思路1

例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数.

(2)设计一个算法，判断35是否为质数.

算法分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.

算法如下：(1)第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除 7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.

(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.

第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.

点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.

变式训练

请写出判断n(n 2)是否为质数的算法.

分析：对于任意的整数n( n2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判 断余数r是否为0，若是，则不是质数;否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.

这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.

算法如下：第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余数r.

第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法;否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断“i(n-1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法;否则，返回第三步.

例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x0)的近似解的算法.

分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x0)的解就是函数f(x)的零点.

“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)•f(b)0)“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)•f(m)0”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b]，仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.[来源:学&科&网z&x&x&k]

解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.

第二步，确定区间[a,b]，满足f(a)•f(b)0.

第三步，取区间中点m= .

第四步，若f(a)•f(m)0，则含零点的区间为[a,m];否则，含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].

第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解;否则，返回第三步.

当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.

a b |a-b|

1 2 1

1 1.5 0.5

1.25 1.5 0.25

1.375 1.5 0.125

1.375 1.437 5 0.062 5

1.406 25 1.437 5 0.031 25

1.406 25 1.421 875 0.015 625

1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5

1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25

于是，开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求 的近似值的一个算法.

点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如 申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……

思路2

例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不 少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法.

分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.

解：具体算法如下：

算法步骤：

第一步：人带两只狼过河，并自己返回.

第二步：人带一只狼过河，自己返回.

第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.

第四步：人带一只羊过河，自己返回.

第五步：人带两只狼过河.

点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.

例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷 茶具、沏茶.问：如何安排这几个步骤?并给出两种算法，再加以比较.

分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题.

解：算法一：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水.

第三步，洗刷茶具.

第四步，沏茶.

算法二：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.

第三步，沏茶.

点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学.

例3 写出通过尺轨作图确定线段ab一个5等分点的算法.

分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.

解：算法分析：

第一步，从已知线段的左端点a出发，任意作一条与ab不平行的射线ap.

第二步，在射线上任取一个不同于端点a的点c，得到线段ac.

第三步，在射线上沿ac的方向截取线段ce=ac.

第四步，在射线上沿ac的方向截取线段ef=ac.

第五步，在射线上沿ac的方向截取线段fg=ac.

第六步，在射线上沿ac的方向截取线段gd=ac，那么线段ad=5ac.

第七步，连结db.

第八步，过c作bd的平行线，交线段ab于m，这样点m就是线段ab的一个5等分点.

点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.

知能训练

设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.

解：算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.

第二步，计算δ=b2-4ac的值.

第三步，判断δ≥0是否成立.若δ≥0成立，输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”，结束算法.

点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.

拓展提升

中国网通规定：拨打市内电话时， 如果不超过3分钟，则收取话费0.22元;如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t(分钟)，通话费用y(元)，如何设计一个程序，计算通话的费用.

解：算法分析：

数学模型实际上为：y关于t的分段函数.

关系式如下：

y=

其中[t-3]表示取不大于t-3的整数部分.

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t.

第二步，如果t≤3，那么y=0.22;否则判断t∈z 是否成立，若成立执行

y=0.2+0.1×(t-3);否则执行y=0.2+0.1×([t-3]+1).

第三步，输出通话费用c.

课堂小结

(1)正确理解算法这一概念.

(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

作业

课本本节练习1、2.

设计感想

本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基 础，是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体 会反复训练.本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.

人教版数学必修教学设计及反思数学必修四教学计划篇三

教学目标

(1)了解算法的含义，体会算法思想.

(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;

(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力

教学重难点

重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计.

难点：把自然语言转化为算法语言.

情境导入

电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手.作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：

第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);

第二步：瞄准目标;

第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;

第四步：根据第三步的结果修正弹着点;

第五步：开枪;

第六步：迅速转移(或隐蔽).

以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法.

●课堂探究

预习提升

1.定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.

2.描述方式

自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图.

3.算法的要求

(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;

(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果.

4.算法的特征

(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束.

(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的.

(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果.

(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续.

(5)不唯一性：解决同一问题的算法可以是不唯一的.

课堂典例讲练

命题方向1 对算法意义的理解

例1.下列叙述中，

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;

②按顺序进行下列运算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;

③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到伦敦观看奥运会开幕式;

④3xx+1;

⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….

能称为算法的个数为()

a.2b.3c.4d.5

【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④，3xx+1不是一个明确的步骤，不符合明确性;⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾.

【答案】b

[规律总结]

1.正确理解算法的概念及其特点是解决问题的关键.

2.针对判断语句是否是算法的问题，要看它的步骤是否是明确的和有效的，而且能在有限步骤之内解决这一问题.

【变式训练】下列对算法的理解不正确的是________

①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的

②算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤

③算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果

④一个问题只能设计出一个算法

【解析】由算法的有限性指包含的步骤是有限的故①正确;

由算法的明确性是指每一步都是确定的故②正确;

由算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果故③正确;

由对于同一个问题可以有不同的算法故④不正确.

【答案】④

命题方向2 解方程(组)的算法

例2.给出求解方程组的一个算法.

[思路分析]解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法(即先将方程组化为一个三角形方程组，再通过回代方程求出方程组的解)解线性方程组.

[规范解答]方法一：算法如下：

第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11，

即方程组可化为

第二步，解方程③，可得y=-1，④

第三步，将④代入①，可得2x-1=7，x=4，

第四步，输出4，-1.

方法二：算法如下：

第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤

第二步，把y=7-2x代入②，得x=4.

第三步，把x=4代入⑤，得y=-1.

第四步，输出4，-1.

[规律总结]1.本题用了2种方法求解，对于问题的求解过程，我们既要强调对“通法、通解”的理解，又要强调对所学知识的灵活运用.

2.设计算法时，经常遇到解方程(组)的问题，一般是按照数学上解方程(组)的方法进行设计，但应注意全面考虑方程解的情况，即先确定方程(组)是否有解，有解时有几个解，然后根据求解步骤设计算法步骤.

【变式训练】

【解】算法如下：s1，①+2×②得5x=1;③

s2，解③得x=;

s3，②-①×2得5y=3;④

s4，解④得y=;

命题方向3 筛选问题的算法设计

例3.设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求出其中的最小值.

[思路分析]比较a，b比较m与c―→最小数

[规范解答]算法步骤如下：

1.比较a与b的大小，若a

2.比较m与c的大小，若m

[规律总结]求最小(大)数就是从中筛选出最小(大)的一个，筛选过程中的每一步都是比较两个数的大小，保证了筛选的可行性，这种方法可以推广到从多个不同数中筛选出满足要求的一个.

【变式训练】在下列数字序列中，写出搜索89的算法：

21,3,0,9,15,72,89,91,93.

[解析]1.先找到序列中的第一个数m，m=21;

2.将m与89比较，是否相等，如果相等，则搜索到89;

3.如果m与89不相等，则往下执行;

4.继续将序列中的其他数赋给m，重复第2步，直到搜索到89.

命题方向4 非数值性问题的算法

例4.一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.

(1)设计安全渡河的算法;

(2)思考每一步算法所遵循的共同原则是什么?

[解析](1)

1.人带两只狼过河;

2.人自己返回;

3.人带一只狼过河;

4.人自己返回;

5.人带两只羚羊过河;

6.人带两只狼返回;

7.人带一只羚羊过河;

8.人自己返回;

9.人带两只狼过河.

(2)在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊的数目大于狼的数目.

[规律总结]1.对于非数值性的问题，在设计算法时，应当先建立过程模型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步连接一步组成的步骤.从而设计出算法.

2.首先应想到先运两只狼，这是唯一的首选步骤，只有这样才可避免狼吃羊，带过一只羊后，必须将狼带回来才行.

【变式训练】两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河?请写出你的渡河方案及算法.

[解析]因为一次只能渡过一个大人或两个小孩，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方案算法为：

1.两个小孩同船渡过河去;

2.一个小孩划船回来;

3.一个大人独自划船渡过河去;

4.对岸的小孩划船回来;

5.两个小孩再同船渡过河去;

6.一个小孩划船回来;

7.余下的一个大人独自划船渡过河去;

8.对岸的小孩划船回来;

9.两个小孩再同船渡过河去.

课后习题

1.以下对算法的描述正确的个数是()

①对一类问题都有效;

②对个别问题有效;

③计算可以一步步地进行，每一步都有唯一的结果;

④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.

a.1个b.2个 c.3个 d.4个

[答案]c

[解析]①③④正确，均符合算法的概念与要求，②不正确.

2.算法的有限性是指()

a.算法的最后必包含输出

b.算法中每个操作步骤都是可执行的

c.算法的步骤必须有限

d.以上说法均不正确

[答案]c

[解析]由算法的要求可知，应选c.

3.下列语句中是算法的个数是()

①从广州到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达;

②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;

③方程x2-1=0有两个实根;

④求1+2+3+4的值，先计算1+2=3，再由3+3=6,6+4=10得最终结果10.

a.1个 b.2个

c.3个 d.4个

[答案]c

[分析]解答本题可先正确理解算法的概念及其特点，然后逐一验证每个语句是否正确.

[解析]①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务;②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方法;④中给出了求1+2+3+4的一个过程，最终得出结果.对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法.

4.设计一个算法求方程5x+2y=22的正整数解，其最后输出的结果应为________.

[答案](2,6)，(4,1)

[解析]因为求方程的正整数解，所以应将x从1开始输入，直到方程成立.

x=2时，y==6;

5.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99. 求它的总分和平均成绩的一个算法为：

1.取a=89，b=96，c=99;

2.____①____;

3.____②____;

4.输出d，e.

[解析]求总分需将三个数相加，求平均分，另需让总分除以3即可.

x=4时，y==1.

[答案]①计算总分d=a+b+c②计算平均成绩e=

人教版数学必修教学设计及反思数学必修四教学计划篇四

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系;

3.函数方程思想的几种重要形式

(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要;

(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈n)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;

(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;

(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。