2016年成都电子科技大学835线性代数考研真题

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成都电子科技大学
2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：835 线性代数
注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。
符号说明: I 表示单位矩阵, *
A 表示伴随矩阵, R 表示实数域.
一(15 分) 已知 3 阶矩阵    1 2 1 2 1 2, , , , ,A B       , 其中 1 2 1 2, , ,    都是 3 维列向量.
若 4, 5A B  , 求 3 2A B .
二(20 分) 是否存在满足如下条件的矩阵? 如果有, 请写出一个或一对这样的矩阵(不必说明
理由). 如果没有, 请说明理由.
(1) 两个秩为 2 的矩阵 4 3A  与 3 4B  使得 AB O .
(2) 3 阶矩阵 C 使得 3
C O , 但是 4
C O .
(3) 2 阶正交矩阵 F 和 G 使得 F G 也是正交矩阵.
(4) 2 阶矩阵 U, W 使得UW WU I  .
三(20 分) 设 2 阶矩阵 A, B 满足 3 2AB A B  .
(1) 证明: AB BA . (2) 设
1 2
3 4
A  
  
 
, 求 B.
四(20分) 设
1 2
3 4
A
 
  
 
, 规定2阶实矩阵线性空间 2 2
R 上的线性变换 A 为:
2 2 2 2 2 2
: , ,A B AB BA B   
   R R R .
(1) 试计算线性变换 A 在 2 2
R 的标准基
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
       
       
       
下的矩阵.
(2) 写出线性变换 A 的像空间 Im A 与核空间 Ker A .
五(15分) 已知非齐次线性方程组  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3,
2 4 5 6,
2 3
x x x
x a x x
x x ax
  

   
    
有3个线性无关的解, 求 a 的值
以及原方程组的通解.
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六(20 分) 设
1 1
1 1
4 5 ,
2 3 ,
n n n
n n n
x x y
y x y
 
 
 

 
, 且 0 02, 1x y  , 求 100x .
七(20 分). (1) 设     3
1, 3, 4 , 5, 0, 1
T T
    R , 试求一个 3 阶正交矩阵 A 使得 A  (不
用写求解过程).
(2) 设非零向量 , n
  R . 证明: 存在正交矩阵 A 使得 A  当且仅当 0T T
     .
八(20 分). 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 各行元素之和均为 0, 且  2 2R I A  , 3A I 不可逆.
(1) 1T
X AX  表示什么样的二次曲面? 为什么? (2) 求伴随矩阵 *
A .

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