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《实分析》考博大纲 科目代码：2092
基本内容与要求：
《实分析》在很多高校都是作为一级学科基础课为研究生开设的课程，着重介绍一般测度论，
抽象 Lebesgue 积分理论，符号测度与微分，L^p 空间，Radon 测度，分布理论，等等。另外,实分
析理论中经常应用来自泛函分析中的一些基本定理，例如 Hahn-Banach 延拓定理，开映射定理，共
鸣定理，等等。以上所述内容都是现代分析的重要基础，也是数学专业人才在后续学习和科研中的
必备基础。
《实分析》是数学学院博士生入学考试课程中的分析类科目，要求学生掌握现代分析的基本思
想和基本方法，熟悉现代分析的基本理论。考试内容将涵盖研究生《实分析》课程的主要内容和《泛
函分析》的经典内容。
本科目的考博大纲如下：
1) 一般测度论：σ -代数，测度，外测度及扩张定理；
2) 抽象 Lebesgue 积分理论：可测函数，抽象 Lebesgue 积分和可积函数空间 L^1，处理极限
和积分交换顺序的基本定理（单调收敛定理，Fatou 引理，Lebesgue 控制收敛定理），依
测度收敛与几乎处处收敛相互关系的结论，乘积测度和 Fubini-Tonelli 定理。
3) 符号测度及微分：符号测度，复测度及绝对连续，Lebesgue-Radon-Nikodym 定理，Lebesgue
微分定理，绝对连续函数，有界变差函数。
4) 泛函分析基础：Hahn-Banach 延拓定理及重要推论，开映射定理，闭图像定理，共鸣定理，
Hilbert 空间中的 Riesz 表示定理，射影定理。
5) L^p 空间：基本理论和基本的常用不等式，L^p 空间的对偶空间，Riesz-Thorin 定理，
Marcinkiewicz 内插定理
6) Radon 测度：Riesz 表示定理，C_0(X)的对偶
7) 分布理论基础
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