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《数理方程》考博大纲 科目代码：2003
基本内容与要求：
《数理方程》是理工科方向应用数学理论解决工程问题的基础，也是数学理论应用
的数学模型。要求考生比较系统地理解数学物理方程的基本概念和基本理论，掌握基本
方法。
考试的主要内容为偏微分方程基本概念、三类典型方程的导出、偏微分方程的定解
问题及其适定性研究、解的叠加原理等。同时要求考生了解偏微分方程研究的现代基本
理论（广义函数理论、Sobolev 空间理论等），理解和掌握其在椭圆、双曲、抛物型方
程研究中的应用，包括应用这些理论研究定解问题的古典解、弱解的适定性以及正则性
的方法。
主要内容
（一）、 偏微分方程的一般理论
1. 理解和掌握偏微分方程的基本概念、特征与分类；
2. 掌握 Fourier 变换及广义函数的概念和基本性质；
3. 理解和掌握偏微分方程古典解，广义解以及定解问题的适定性等概念；
4. 理解和掌握三类典型线性偏微分方程（波动方程、热传导方程、位势方程）的导
出。
（二）、波动方程
1. 理解和掌握一维波动方程的特征线法及初值问题解的 D’Alembert 公式，了解其
物理意义;
2. 理解和掌握三维波动方程的球平均法及初值问题解的 Kirchhoff 公式，了解其物
理意义;
3. 理解和掌握二维波动方程的初值问题和降维法及初值问题解的 Poisson 公式;
4. 掌握解的线性叠加原理及 Fourier 变换方法求解波方程初值问题；
5. 掌握波动方程初边值问题的分离变量法；
6. 理解和掌握依赖区域、决定区域、影响区域、特征维以及波的惠更斯（Huyge）
原理等概念。
（三）、热传导方程
1. 理解和掌握 Fourier 变换求解热传导方程及初值问题解的 Poisson 公式，理解热
传导方程基本解的概念；
2. 掌握一维热传导方程初边值问题的分离变量法；
3. 理解和掌握一维热传导方程的极值原理，能够应用极值原理来证明定解问题解的
唯一性和稳定性
4. 理解和掌握热传导方程的最大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方
法讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。
（四）、位势方程
1. 掌握 Poisson 方程边值问题的分类;
2. 掌握调和函数的基本性质，如中值公式、极值原理等；
3. 理解和掌握位势方程的极值原理，能够应用极值原理来证明定解问题解的唯一性
和稳定性；
4. 理解和掌握位势方程的最大模估计和能量模估计（能量方法），以及用能量方法
讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。
5. 理解 Sobolev 空间的基本概念和性质，掌握变分问题的解的存在唯一性。
（五）、二阶偏微分方程的分类和总结
1. 理解和掌握二阶偏微分方程的分类（椭圆、抛物、双曲）及其基本性质；
2. 理解和掌握基于泛函分析、Sobolev 空间理论的能量方法，以及极值原理，在三
类方程中弱解的存在性、唯一性、正则性的应用。
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