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山东理工大学 2008 年硕士研究生入学考试试题（A 卷）
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
考试科目：数学分析
一、计算下列各题（每小题 8 分，共 24 分）
1.
1
0
1
lim
x
x
x e
x→
+ −( )
．
2. 设
0
2
( )d
, 0 ,( )
, 0 .
x
tf t t
xF x x
C x
≠=
=
∫
其中 ( )f x 连续且 (0) 1f = ，试确定C ，使 ( )F x 连续．
3. 2
0
cos
d
sin cos
π
θ
θ
θ θ+∫ ．
二、（10 分）设 ( )f x 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可导0 a b≤ < ， ( ) ( )f a f b≠ ．
试证：存在 ( , )a bξ ∈ 、 ( , )a bη ∈ ，使得
( ) ( )
2
a b
f fξ η
η
+
′ ′= ．
三、（16 分）设 ( )f x 在[ , ]a b 上具有连续的导数,且 ( ) 0f a = ,试证
( )
2
( ) ( ) d ( ) d
2
b b
a a
b a
f x f x x f x x
−
′ ′≤∫ ∫ ．
四、（10 分）求幂级数
1
( 1) n
n
n n x
∞
=
+∑ 的和函数．
五、（10 分）设 ( , )u x y 的所有二阶偏导数都连续，且
2 2
2 2
0
u u
x y
∂ ∂
− =
∂ ∂
， ( , 2 )u x x x= ， 2
( , 2 )xu x x x′ = ．
求 ( , 2 )xxu x x′′ ， ( , 2 )xyu x x′′ ， ( , 2 )yyu x x′′ ．
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