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2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业
研究方向：各方向
考试科目名称：609 数学分析
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. 求极限 (每小题 6 分, 总共 36 分)
(1) lim ( , 0)n n n
n
a b a b
→∞
+ > ； (2)
3
2
0
1
2sin cos
lim
(1 cos )arctanx
x x
x
x x→
+
+
；
(3)
2
lim
x
ex x
x xx
e e
e e
−
−→+∞
⎛ +
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎞
； (4) 2
3
3 2
10
lim ln( )
y
yy
x e xy dx
+
+→
+∫ ；
(5) 2 2
1
lim
n
n
i
i
n i→∞
= +
∑ ；
(6) 设函数 在区间 ) 内具有二阶连续的导函数, 且g ( ,−∞ +∞ (0) 1, (0) 0,g g′= =
(0) 1.g′′ = − 求
2
lim ( ( ))x
x
g
x→+∞
.
2. 求导数与微分 (每小题 7 分, 总共 14 分)
(1) 已知 ( ) (1 )(2 ) (100 ),f x x x x= − − ⋅⋅⋅ − 求 (1)f ′ ；
(2) 求由方程 所确定的函数 ( )y y2
(2 ) 0( , 0)y x
x y x y− = > x= 的微分.
3. 计算积分 (第 1,2 小题每小题 7 分, 第 3,4 小题每小题 10 分, 总共 34 分)
(1)
2
2 x x dx
x
+ −
∫ ；
(2) 瑕积分
2
1
20
1
x
dx
x−
∫ 是否收敛? 若收敛, 求其积分值；
(3) 设 为连续可微函数, 若曲线积分( )w g u= ( 2 ( )) ( )x
C
y e g x dx g x d+ −∫ y 与路径
无关, 且 求 .(0) 1g = ,
(1,1)
(0,0)
( 2 ( )) ( )x
y e g x dx g x d+ −∫ y
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