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附件 4 广西民族大学 2007 年硕士研究生入学考试试题
（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）
学科专业: 基础数学、计算数学、应用数学 研究方向：所有方向
考试科目： 高等代数 试卷代号：A
一、计算行列式(20 分)
1．
2 0 1 1
0 0 1 0
2 0 3 1
1 1 3 2
-
-
； 2.
1 3 3 3
3 2 3 3
3 3 3 3 ( 2)
3 3 3
n
n
骣
琪
琪
³琪
琪
琪
桫
（注：对角线上元素分别为1, 2, n ，
其余元素为 3）
二、(15 分)设 b 是非齐次线性方程组 Ax b= 的一个解， 1 2
, , , n r
a a a -
是对应齐次线性方程组的一
个基础解系，证明：（1） 1 2
, , , ,n r
a a a b-
线性无关；（2） 1 2
, , , ,n r
a b a b a b b-
+ + + 线性无关。
三、(15 分) a 取何值时下列方程组有解？并求其解：
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1ax x x
x ax x a
x x ax a
ì + + =
ï
+ + =í
ï
+ + =î
四、(20 分)证明：
2* *
( )
n
A A A
-
= ，其中 A 是 n n´ 矩阵（ 2n > ）。
五、(15 分) 设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 0A < 。证明：存在实n 维向量 x 使得 '
0x Ax < 。
六、(15 分)设有向量组 ( )1 2 3 1 2
(1, 0, 2,1), (2, 0,1, 1), 3, 0,3, 0 , (1,1, 0,1), (4,1,3,1)a a a b b= = - = = = ，
令 1 1 2 3 2 1 2
( , , ), ( , )V L a a a V L b b= = 。求 1 2
V V+ 的维数，并求一组基。
七、(15 分)设T 为 n 维空间的一个线性变换，且 2
T I= 。证明：（1）T 的特征根只能是 1± ；（2）
1 2
V V V= ，其中 1
V 是T 的属于特征根 1 的特征子空间， 2
V 是T 的属于特征根 1- 的特征子空间。
八、(15 分)设
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
骣
琪=
琪
桫
，求正交矩阵Q 使得
1
Q AQ
-
为对角矩阵。
九、(20 分)设 n 阶实矩阵 A 的特征值全为实数，且 A 的一阶主子式之和、二阶主子式之和全为 0，
证明
n
A O= 。
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