2014年青岛大学880数学基础综合考研真题硕士研究生入学考试试题

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青岛大学 2014 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：880 科目名称：数学基础综合（共 2 页）
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1．（10 分）证明：
2
2
1
lim 1
1x
x
x



．
2．（10 分）设 0, ( 1,2, , )ka k m  ．求 1 2lim n n nn
m
n
a a a

   ．
3．（10 分）设 ( )f x 连续， (0) 0, (0) 0f f   ．求
2
0
0 2
0
( )
lim
( )
x
xx
f t dt
x f t dt


．
4．（10 分）设函数 : [ , ] [ , ]f a b a b 为连续函数．
证明： [ , ]a b  ，使得 ( )f   ．
5．（10 分）设 ( )p x x ， ( ) 1q x x  ， ( )f x 为多项式． ( ) ( )f x p x ， ( ) ( )f x q x ，
( , )x    ．证明：
1 1
2 2
f
 
 
 
．
6．（10 分）设函数 ( )f x 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可微．
若 ( ) ( ) 0f a f b  ，且 0
2
a b
f
 
 
 
．证明：必 ( , )a b  ，使得 ( ) 0f   ．
7．（10 分）函数 ( )f x 在闭区间[0,1] 上有连续的一阶导数．
证明：  1 1 1
0 0 0
( ) max ( ) , ( )f x dx f x dx f x dx   ．
8．（10 分）证明： 20 (1 )(1 )
dx
x x

  与 无关．

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