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科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、(15 分) 设 4 3 2 4 3 2
( ) 2 4 2, ( ) 2 2f x x x x x g x x x x x= + − − − = + − − − ，求 ( ), ( )u x v x
使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).u x f x v x g x f x g x+ =
二、(15 分). 证明：方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧
⎪ + + + =⎪
⎨
⎪
⎪ + + + =⎩
⋯
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯
对任何 1 2, , , nb b b⋯ 都有解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 0ija ≠ .
三、(20 分) ,a b 取什么值时，线性方程组
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
3 2 3
2 2 6 3
5 4 3 3
x x x x x
x x x x x a
x x x x
x x x x x b
+ + + + =⎧
⎪ + + + − =⎪
⎨
+ + + =⎪
⎪ + + + − =⎩
有解？在有解的情形，求一般解.
四、(20 分)设 ,A B 为n n× 矩阵，证明：如果 0AB = ，那么
( ) ( )rank A rank B n+ ≤ .
五、(20 分) 设 A是一个n 阶矩阵，证明：
1） A是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量 X ，有 0=′AXX .
2）如果 A是对称矩阵，且对任一个n 维向量 X 有 0=′AXX ，那么 0=A .
六、(20 分) 设 nααα ,...,, 21 是 n 维线性空间 V 的一组基，A 是一个 n×s 矩阵，且
Ans ),...,,(),...,,( 2121 αααβββ =
证明： ),...,,( 21 sL βββ 的维数等于 A 的秩.
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2013年青岛大学816高等代数考研真题硕士研究生入学考试试题