2011年湖南农业大学820高等代数考研真题硕士研究生入学考试试题

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2011 年湖南农业大学硕士招生自命题科目试题
科目名称及代码：高等代数 820
适用专业：生物数学
考生注意事项：①所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上一律无效。
②按试题顺序答题，在答题纸上标明题目序号。
1、（15 分）令 3 3
( ) ( )f x xg x 可以被 2
1x x  整除，证明： (1) (1) 0.f g 
2、（15 分）证明：
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n
n n nn
a t a t a t
a t a t a td
dt
a t a a



   

11 1 1
21 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
j n
n
j n
j
n nj nn
d
a t a t a t
dt
d
a t a t a t
dt
d
a t a t a t
dt


 
 
    
 
.
3、（20 分）其次线性方程组
1
0,
n
ij j
j
a x

 ( 1, 2, 1)i n  的系数矩阵 ( 1)
( )ij n n
A a  
 ，设 i
M
是从 A 中划去第i 列后剩下的 1n  阶子矩阵的行列式，证明：
（1）
1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M

  方程组的解.
（2）若 A 的秩为 1n  ，则
1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M

  是方程组的一个基础解系.
4、（20 分）设 A 是 n n 矩阵（ 2n  ），那么，秩（ *
A ）=
n, R (A ) n,
1 R (A ) n 1,
0 R (A ) n 1.


 
  
5 、（ 15 分）设 A , B , C , D都是 n 阶矩阵，其中， detA 0, AC=CA ，证明：
 
A B
det det AD CB .
C D
 
  
 
6、（15 分）证明
a b c
W = 0 a b ; a, b, c R
0 0 a
  
  
  
    
是线性空间 3
M (R ) 的子空间，并求 W 的一
组基及维数.

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