891数学专业综合课考试大纲

请考生注意：

1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代数、概率论与数理统计三门课程的内容，

考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。

2、每门课试题满分 75分。

常微分方程考试大纲

一、基本内容与要求

(一) 初等积分法

1、 熟练掌握变量可分离方程、可化为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、

全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。

2、 会应用降阶法解某些高阶方程。

3、 会建立简单的微分方程模型。

(二) 线性方程和线性方程组

1、 掌握线性微分方程(组)的一般理论.

2、 掌握常系数线性微分方程(组)的解法.

3、 能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析.

4、 了解二阶线性方程的幂级数解法和 Laplace 方法。

5、 会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型

(三) 基本定理

1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理

2、掌握解的存在、唯一性定理及证明。

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近世代数考试大纲

一、基本内容与要求

(一)基本概念

1、理解集合与映射的概念，掌握集合之间的运算，能够在集合之间建立映射关系，并判

断两个映射是否相同。

2、掌握代数运算与映射的关系，能够建立有限集合之间的运算表，并判断给定的运算是

否满足结合律、交换律以及两种分配律。

3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射（满同态）的关系，

并能判定映射是否是同态满射（满同态），掌握具有同态满射（满同态）的集合之间的联系。能

够判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的

关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能够建立整数间给定模的剩余类。

(二) 群论

1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无

限群、群的阶和交换群的概念。充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，

能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的阶。

2、理解群同构、同态的定义，掌握一个群的自同构的集合也成群的证明，掌握群同态的

有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的像也是单位元，元 a的逆元的像是 a的像的逆元。

3、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能

证明任一循环群可以与整数加群或模为 n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。