重庆大学2003年硕士研究生入学考试试题

高等代数试卷

一、    填空题（36分）

1．设n阶方阵A满足 ，其中E是单位矩阵， ，则 _____________

2．设A、B均为n阶方阵， ， 为矩阵A的伴随矩阵，则 ______

3．设 ， ，则B = _____________________

4．设 ，其中 为任意3维实向量，则线性变换 在 下的矩阵表示为_________________________________

5．设A是可逆矩阵， 是A的一个特征值，则A的伴随矩阵 一定有一个特征值为________

6．若方程 无解，则 ________；若此方程有惟一解，则 _______

7．设 ，则 ______________________

8．向量组 的秩等于__________，其一个最大无关组是________________

9．设 ，则向量y的长度 ______________

10．设n阶方阵A的秩 ，n阶方阵B的秩 ，则 的解空间的维数等于___________________

二、    计算题（50分）

1．  设n维向量 ，令 ，求对角矩阵 和可逆矩阵P使得

2．  设 是5维Euelid空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基

3．  设 ，求A的初等因子和Jordan标准矩阵

4．  设n阶方阵A满足 ，且 ，证明A相似于对角阵，并求 的值

5．  设 是n阶方阵， ，求矩阵 的行列式值

三、    证明题（64分）

1．设 是 中的两个非平凡子空间，证明：在 中存在向量 使得 ；并在 中举例说明此结论

2．设 是n维线性空间 的一组基，对任意n个向量 ，证明：存在惟一的线性变换T使得

3．（1）设A、B为n阶方阵，证明： 的充要条件是 的解均为 的解

（2）设A、B为n阶方阵， ，证明对于任意可以相乘的矩阵C均有

（3）若有自然数k使得 ，则

4．设A为n阶实对称方阵，

 （1）若 ，则存在实（非负）整数r和可逆矩阵P使得

（2）记 ，给出S为 的字空间的充分必要条件，并证明你的结论

5．设实二次型 ， 是A的特征值，证明存在非零向量 使得

6．设 是三个多项式，证明：