1（10分）设 是互不相同的整数，求证多项式

在整系数多项式环中不可约。

2（10 分） 设 ，求 有重根的条件。

3 （10分）记

求 的根。

4（10分）（1）设 ，  。求 ；

            （2）求 ，其中 。

5（15分）设 是 阶方阵 的伴随矩阵。证明：当 时， ；当 时， ；当 时， 。

6（10分）设 为 阶方阵， 为正整数，线性方程组 有解向量 且 。证明：向量组 线性无关.

7(10分)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示：

。

8（10分）若下面线性方程组有解，常数应满足什么条件？

9（15分）已知矩阵 

有特征值 ，矩阵 。其中 为实数， 为单位阵。

（1）    求 ，并说明 是否可以对角化；

（2）    矩阵 是否可以对角化，若能，求对角矩阵 ，使 .

10(15分)已知 均为三阶非零矩阵，且

（1）    证明 与 的特征值只能是0或1；并且0和1必是 与 的特征值；

（2）    若 是 关于 的特征向量，则 必是矩阵 关于 的特征向量。

11（15分）设

（1）    用正交变换化此二次型为标准型，并写出所有的正交变换；

（2）    是否有可逆矩阵 ，使得 。其中 是原二次型的矩阵。若有，求出它；若无，说明理由。

12  (20分)设 为有理数域上的三维向量空间， 为 到 的线性变换。若对 ，有 ，证明 线性无关。

数学分析

一、（20）设 在 上连续并且单调递减，证明函数

在 上单调递减。

二、（20）设 ， ，证明极限 存在并求之。

三、（20）设 是 个正实数，求 。

四、（10）区间上的连续函数如果在任何有理点上为零，证明此函数恒为零。

五、（20）证明   。

六、（20）研究函数  的连续性及可微性。

七、（20）求正向简单闭曲线 使积分  最大，并求出最大值。

八、（每小题10分，共20）

设 为平面上一个有界闭集，连续函数 将 一对一映为平面上点集 ，证明

（1）    也是有界闭集

（2）    的逆映射也是连续函数。

------------------郑州大学2009年高等代数考研真题试卷