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初中数学正多边形与圆的教案 九年级下册数学正多边形的性质篇一

24.6正多边形与圆（2）

——正多边形的性质

【教学内容】正多边形与圆 【教学目标】 知识与技能

了解正多边形和圆的有关概念；，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 过程与方法

通过作图，培养作图能力．

情感、态度与价值观

通过探究 正多边形与圆知识，逐步培养学生的研究问题能力；培养学生解 决实际问题的能力和应用数学的意识。

【教学重难点】 重点：正多边形与圆

难点：正多边形与圆

【导学过程】 【知识回顾】 1.复习

（1）什么叫正多边形？

（2）从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 【情景导入】

【新知探究】

探究

一、1、正多边形和圆有什么关系？ 只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的。

2、通过教材图形，识别什么叫正多边形的中心、正多边形的中心角、正多边形的边心距？

3、计算一下正五边形的中心角时多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形的一个外角是多少？正六边形呢？

4通过上述计算，说明正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

5、如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 方法

一、用量角器作一个等于 的圆心角。

方法

二、正六边形、正三角形、正十二边形等特殊正多边形的作法？

…….【知识梳理】

正多边形与圆的概念。【随堂练习】

1．如图1所示，正六边形abcdef内接于⊙o，则∠adb的度数是（）． a．60° b．45° c．30° d．22．5°

bdca

(1)(2)(3)2．圆内接正五边形abcde中，对角线ac和bd相交于点p，则∠apb的度数是（）． a．36° b．60° c．72° d．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）

a．18° b．36°c．72° d．144°

4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_____．

5．如图2，在△abc中，∠acb=90°，∠b=15°，以c为圆心，ca长为半径的圆交ab于d，若ac=6，则ad的长为_______．

6．四边形abcd为⊙o的内接梯形，如图3所示，ab∥cd，且cd为直径，•如果⊙o的半径等于r，∠c=60°，那图中△oab的边长ab是______；△oda的周长是_______；∠boc的度数是________．

初中数学正多边形与圆的教案 九年级下册数学正多边形的性质篇二

九年级数学正多边形与圆教案

学习目标：

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；

2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；

3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；

4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。学习过程：

一、情境创设：

观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

二、探索活动：

活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念

概念： 叫做正多边形。

（注：各边相等与各角相等必须同时成立）

提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系

1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；

2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三 探索正多边形的对称性

问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？

思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？ 结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形 问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？

拓展1：已知：如图，五边形abcde内接于⊙o，ab=bc=cd=de=ea．

求证：五边形abcde是正五边形．

拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？

三、课堂练习

1、正方形abcd的外接圆圆心o叫做正方形abcd的______．

2、正方形abcd的内切圆⊙o的半径oe叫做正方形abcd的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

5、p144 练习1、2

四、课堂小结

1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；

2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

五、课堂作业：

p108 5 6

初中数学正多边形与圆的教案 九年级下册数学正多边形的性质篇三

正多边形与圆

田小华

一．学习目标：

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；

2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；

3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形； 二．教学重难点

学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。三．自学提纲

了解正多边形的概念，掌握如何利用尺规做正多边形的画法，理解正多边形与圆的的定理。

四．教学过程： 1.情境创设：

我们国旗上的五角星怎么画的？能不能利用尺规作出正五边形 及所有边相等的正多边形

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？

拓展：如果圆内接正三角形，正方形有什么性质

二、探索活动：活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念

正多边形的概念：（学生读出，并及时理解）

（注：各边相等与各角相等必须同时成立）

提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形等．

定理：

此定理讲述了元与正多边形的关系，和包含了做圆内接正多边形的方法，我们拿正五边形来做事例 分析书上的例题 p33 拓展1：已知：如图，五边形abcde内接于⊙o，弧ab=弧bc=弧cd=弧de=弧ea．（图形师生共同作图）

（1）求证：五边形abcde是正五边形． 探讨：以圆心到弦ab的弦心距为半径，还以o为圆心画圆。这个圆与正五边形什么关系？

活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系

1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；

2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形 问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？

拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？

五、课堂练习

课本p34练习1,2和p35习题3，4

六．小结：本节课主要讲的是圆与正多边形联系，及如何作正（四，五，六，八）多边形，及进一步探讨正多边形的对称性。

初中数学正多边形与圆的教案 九年级下册数学正多边形的性质篇四

《正多边形和圆》教案2 教学目标 ：

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

教学难点 ：

对定理的理解以及定理的证明方法．

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙o中，= = = =，tp、pq、qr、rs、st分别是经过点a、b、c、d、e的⊙o的切线．

求证：（1）五边形abcde是⊙o的内接正五边形；

（2）五边形pqrst是⊙o的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

p157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点a、b、c、d、e是⊙o的5等分点，画出⊙o的内接和外切正五边形．

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业 教材p172习题a组2、3． 教学设计示例2 教学目标 ：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动．

实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形abcde的顶点a、b、c、作⊙o连结oa、ob、oc、od．

同理，点e在⊙o上．

所以正五边形abcde有一个外接圆⊙o．

因为正五边形abcde的各边是⊙o中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点o为圆心，以弦心距(oh)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形abcde还有一个以o为圆心的内切圆．

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

正五边形的各顶点共圆．

正五边形有外接圆．

圆心到各边的距离相等．

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

（3）巩固练习：

1、正方形abcd的外接圆圆心o叫做正方形abcd的______．

2、正方形abcd的内切圆⊙o的半径oe叫做正方形abcd的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等．

2、各角都相等．

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

能力：探索、推理、归纳等能力．

方法：证明点共圆的方法．

（六）作业 p159中练习1、2、3．

教学设计示例3 教学目标 ：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

教学难点 ：综合运用知识证题．

教学活动设计：

（一）知识回顾

1．什么叫做正多边形？

2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于 ．

5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

例

1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：如图，在五边形abcde中，∠a=∠b=∠c=∠d=∠e，边ab、bc、cd、de、ea与⊙o分别相切于a’、b’、c’、d’、e’．

求证：五边形abcde是正五边形．

分析：要证五边形abcde是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

教师引导学生分析，学生动手证明．

证法1：连结oa、ob、oc，∵五边形abcde外切于⊙o．

∴∠bao=∠oae，∠ocb=∠ocd，∠oba=∠obc，又∵∠bae=∠abc=∠bcd．

∴∠bao=∠ocb．

又∵ob=ob

∴△abo≌△cbo，∴ab=bc，同理 bc=cd=de=ea．

∴五边形abcde是正五边形．

证法2：作⊙o的半径oa’、ob’、oc’，则

oa’⊥ab，ob’⊥bc、oc’⊥cd．

∠b=∠c ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切点a’、b’、c’、d’、e’是⊙o的5等分点．所以五边形abcde是正五边形．

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形abcde内接于⊙o，ab=bc=cd=de=ea．

求证：五边形abcde是正五边形．（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

拓展2：已知：如图，同心圆⊙o分别为五边形abcde内切圆和外接圆，切点分别为f、g、h、m、n．

求证：五边形abcde是正五边形．（证明略）

学生独立完成证明过程，对b、c层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

例

2、已知：正六边形abcdef．

求作：正六边形abcdef的外接圆和内切圆．

作法：1过a、b、c三点作⊙o．⊙o就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以o为圆心，以o到ab的距离(oh)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

练习：p161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

3、已知：正方形abcd．求作：正方形abcd的外接圆与内切圆．

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

（四）作业

教材p172习题4、5；另a层学生：p174b组3、4．

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

（提示：①对折；②再折使a、b、c分别与o点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

①对折成小正方形abcd；

②对折小正方形abcd的中线；

③对折使点b在小正方形abcd的中线上（即b’）；

④则b、b’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△abc是正三角形, 形，= =，可以证明六边形adbecf的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形abcdefg(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

（1）[说明]（2）[证明]（3）[猜想]

解：（1）由图知∠afc对 ．因为 =，而∠daf对的 = + = + = ．所以∠afc=∠daf．

同理可证，其余各角都等于∠afc．所以，图1中六边形各内角相．

（2）因为∠a对，∠b对，又因为∠a=∠b，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七边形abcdefg是正七边形．

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形

初中数学正多边形与圆的教案 九年级下册数学正多边形的性质篇五

正多边形和圆教学反思

孙叶

这一节课，我花了十分钟的时间已经让学生通过看书感知了中心、中心角、半径、边心距的定义，这节的教学重点是特殊的正多边形和圆中边心距、边长、半径的关系。

我先给了学生五分钟看书上正六边形的例题，在黑板上画了半径为r的正四边形、正六边形、正三角形及其外接圆，点拨例题后我以表格的形式给出学生的第一个问题是：分别用r表示正四边形、正六边形、正三角形的边长、周长、边心距和面积。以前一直习惯于我讲学生听，这节我试着让学生讲，学生在黑边前的讲解的时候我发现其他学生听的更认真，虽然讲解的学生还存在着声音小、讲解不是太透彻等缺点，但整体还可以，多给学生机会肯定会有提高。整节课我围绕这个问题花了很长的时间，目的是让更多的学生体会并且学会这种构造直角三角形的思想。其中我给学生补充的知识有：有一个角是30度的直角三角形的三边比和等腰直角三角形的三边比的推导及结论，我觉得这样可以为学生的运算节省时间。

这节课的第二个问题是：探究正三角形的外接圆半径r和内切圆的半径r的数量关系，以及它们与正三角形的高之间的数量关系。在这个过程由两个同学去讲解，田礼厚同学通过连接半径转化r构造直角三角形，而郑文豪同学通过构造弦心距转化r构造直角三角形，同样都是转化，但转化的不一样，我觉得学生的思维表现的很活跃。

整节课设计的问题较少，重点在于让学生体会构造思想和转化思想，学生表现很积极，但是没有练习以及反馈的时间，在接下来的练习课上我觉得困扰学生的不是构造直角三角形的思想而是计算的速度及准确性，但快速准确运算又不是一天两天的功夫，我认为对于我的学生而言，每节课还得给适当的运算来锻炼学生。