最新构造辅助函数公式法 构造辅助函数的万能公式(四篇)
最新构造辅助函数公式法 构造辅助函数万能公式
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最新构造辅助函数公式法 构造辅助函数的万能公式(四篇)
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构造辅助函数公式法 构造辅助函数的万能公式篇一
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个f(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 \[g(x) \ne 0\] ，证明：在（a,b）存在 \[\xi \] ，使得 \[\frac{{f\left( \xi \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( \xi \right)}} = \frac{{f\left( \xi \right)}}{{g\left( \xi \right)}}\] 。
解析：这是非常常见的一道题。估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：
\[f(\xi ) = g(\xi )f(\xi ) + f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )\]
然后我们令：
\[f(\xi ) = g(\xi )f(\xi ) + f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )\]
好，对上式两边进行积分，如下：
\[\begin{array}{*{20}{l}} {f(\xi ) = \int {g(\xi )f(\xi ) + f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )d\xi } }\\ { = \int {f\left( \xi \right)dg(\xi )} + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - \int {g\left( \xi \right)} df\left( \xi \right) + \int {g(\xi )d} f\left( \xi \right) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )}\\ { = f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi )} \end{array}\]
所以我们要寻找的辅助函数就为：
\[f(x) = f(x)g(x) - f(a)g(x) - g(b)f(x)\]
很容易验证：
\[f(a) = f(b) = - f(a)g(b)\]
于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点 \[\xi \] ，使得 \[f\left( \xi \right) = 0\] ，也就是：
\[g(\xi )f(\xi ) + f(\xi )g(\xi ) - f(a)g(\xi ) - g(b)f(\xi ) = 0\]
整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
注：原函数法特别适合所证式子中包含f(x)和g(x)两个函数的情况。例2：拉格朗日中值定理的证明。
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