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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 622 数学分析 适用专业：070104 应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一、（10 分）按函数极限的 定义证明极限 2
2
lim 4
x
x
.
二、（10 分）求极限 lim 1 2 2017
n n nn
n
.
三、（10 分）求由参数方程 2
( 1)e
e
t
t
x t
y t
所确定的函数 ( )y y x 的二阶导数
2
2
d
d
y
x
.
四、（15 分）设
2
2 4
2 4
2 4
, 0
( , )
0, 0
xy
x y
f x y x y
x y
，计算 (0, 0)x
f ， (0, 0)y
f ，并考察 f 在原
点处的连续性、可微性.
五、（13 分）求曲线 3
y x x 与直线 3y x 所围平面图形的面积.
六、（15 分）计算第二型曲线积分 2
e
(e arctan 3 )d ( )d
1
x
x
L
I y y x x y
y
，其中 L 为圆
2 2
2x y x 上从点 (1, 1)A 沿逆时针到点 (1,1)B 的一段弧.
七、（15 分）计算第二型曲面积分 3 3 3 2 2
d d d d ( )d d
S
I x y z y z x z x y x y ，其中S 是上
半球面 2 2 2 2
x y z R 的上侧.
八、（12 分）判别级数
1
1
( 1)
1
n
n n n
的收敛性，并指出是条件收敛还是绝对收敛.
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 622 数学分析 适用专业：070104 应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
九、（10 分）求幂级数 2
1
! n
n
n
n
x
n
的收敛域.
十、（10 分）证明函数项级数
1
(1 cos )
n
x
n
在[ , ] 上一致收敛，其中 0 .
十一、 （10 分）设 ( )f x 为连续的周期函数，周期为T ，证明
0
( )d ( )d
a T T
a
f x x f x x
，其
中 a 为任意常数.
十二、 （10 分）设函数 f 在[ , ]a b 上连续递增，
1
( )d , ( , ]
( )
( ),
x
a
f t t x a b
F x x a
f a x a
，证明
( )F x 在[ , ]a b 上递增.
十三、 （10 分）设 1
0
0
2 1
n
aa
a
n
，证明 0 1
( )
n
n
f x a a x a x 在(0,1) 内至少有
一个零点.
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