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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数 适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、（15 分）判断多项式 5 3 2
( ) 4 3 2f x x x x x 在实数域上有无重因式，若
有的话，求出重因式并指出其重数。
2、（20 分）计算下列n 级行列式
（1）
1 1 1 1
0 0 2 1
0 1 0 1
0 0 1
n
n
L
L
M M M M
L
L
， （2）
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
L
L
L
M M M O M M
L
L
.
3、（20 分）k 取何值时，线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3 3
3 2
x x x
x x kx
x kx x
无解？有唯一解？有无穷多解？当有解时，求出其一切解。
4 、（ 15 分 ） 在 实 数 域 内 ， 用 非 退 化 线 性 替 换 化 二 次 型
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 2 2f x x x x x x x x x 为规范形（写出所作的非退化线性替换）.
5、（15分）设有向量组
1 2 3
1, 0, 2,1 , 2, 0,1, 1 , 3, 0,3, 0 ;
1 2
1,1, 0,1 , 4,1,3,1 .
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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称: 822 高等代数 适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
令 1 1 2 3 2 1 2
, , , ,V L V L . 求 1 2
V V 的维数和一组基.
6、（15 分）设 3 0AXB C D ，求矩阵X ，其中
2 1 1
1 1 1
3 2 1
A
，
1 0 0
0 0 1
0 1 0
B
，
1 0 2
0 2 1
2
3 3
3
C
，
2 0 3 2
0 7 3
3 3 2 8
D
.
7、（15 分）设 A 为n 级方阵. 证明：若任意非零n 维向量都是A 的特征向量，
则 A 是数量矩阵。
8、（20分）设 是n 维欧氏空间V 的线性变换，证明下面三个命题相互等价：
(1) 是正交变换；
(2) 保持向量的长度不变，即对于任意 V ， ；
(3)如果 1 2
, , , n
L 是标准正交基，那么 1 2
, , , n
L 也是标准正交基.
9、（15 分）设 1
, , n
L 为一线性无关的向量组, 为向量.证明要么向量组
1
, , n
L 线性无关, 要么向量组 1
, , n
L 线性无关.
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