2010年昆明理工大学高等代数考研真题硕士研究生入学考试试题

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昆明理工大学 2010 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码：833 考试科目名称：高等代数
试题适用招生专业：070102 计算数学、070104 应用数学、071101 系统理论、
071102 系统分析与集成
考生答题须知
1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1. 解方程
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
x
x
n x


 





=0 （15 分）
2. 证明： 8
1x  在 [ ]Q x 中不可约。（15 分）
3．证明：向量组 1 2
, , , n
   线性无关的充要条件是向量组 1 1 2 1 2
, , , n
          线
性无关。（15 分）
4．A 是 n 阶方阵， 是 n 维列向量。证明：
①若
1
0
k
A 

 ，但 0
k
A   ，则
1
, , ,
k
A A  

 线性无关；
②
1
( ) ( )
n n
rank A rank A

 。（20 分）
5．
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 




是实矩阵，且 , 1, 2, ,ii ij
j i
a a i n

   。证明 A 可逆。（15 分）
6．解矩阵方程 2AX A X  ，
4 2 3
1 1 0
1 2 3
A
 
 

 
  
。（20 分）
7 ．设 1
V 与 2
V 分别是方程组 1 2
0n
x x x    与 1 2 n
x x x   的解空间。证明：
1 2
n
P V V  。（15 分）

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