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PP T教程篇一

云南省曲靖市第一中学

李德安

教学目标：

1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。

3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

教学重点：

了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。

教学难点：

数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。

教学过程：

一．创设情境，回顾引入

师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？

生：因为有姓“万”的。

师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？

生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）

师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？

生：有。例如等差数列通项公式的推导。

师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，„„归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？

生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）

像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？

生：（齐答）可靠。

师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。

1 师：是不可靠的。不妨再举一例ann1n2n3n1000容易验证a10，a20，a30，„，a10000，如果由此作出结论——对于任何nn*，ann1n2n3

n10000都成立，那就是错误的。事实上，a10011000!0。

二．设置问题，引导探究

师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？ 生：（没）玩过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？

生：假设第kkn*张骨牌倒下，保证第k1张骨牌倒下。

师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？

生：不是。我们不知道第k张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k张骨牌倒下。若第k张骨牌倒下，需要第k1张骨牌倒下；若第k1张骨牌倒下，需要第k2张骨牌倒下，„„，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。

师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？ 生：是。

师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k张骨牌倒下，第k1张骨牌一定倒下。

现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？

生：n1时结论正确n2时结论正确n3时，结论正确，nk时结论正确nk1时结论正确

师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？ 生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确。

师：这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗？ 三．解决问题，引出概念（学生共答，教师板书）

证明：（1）当n1时，左边a，右边a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？

生：ak1a1(k1)1d。

师：哦！看来nk1时等式也成立，这样做对吗？ 生：（齐答）不对。

师：注意在证nk1时，一定要用到归纳假设，nk时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么ak1与ak有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，2 大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？

生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立„„所以n取任何正整数等式都成立。

师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？

生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kn*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？ 生：递推思想。

师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。（此时投影上注明）

师：这两步可以缺少哪一步吗？ 生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。

师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。）

练习：用数学归纳法证明：

1．123n1nn1。22．12222n12n1。

3．首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1。

四．归纳小结，深化主题

师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？

生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。）（投影展示）小结：

不完全归纳法1．归纳法

完全归纳法特点：特殊→一般

2．数学归纳法概念及证题步骤。3．数学归纳法实质是递推思想。

3 五．布置作业： p76 1，2

PP T教程篇二

数学归纳法及其应用

山东省惠民地区教研室 王学贤

作者简历

王学贤 山东潍坊人，1960年毕业于淄博师范专科学校数学系，同年留校任教，后在博兴一中任数学教师．1980年被评为中学特级教师，1988年被评为中学高级教师．现任山东惠民地区教研室副主任，山东省中学数学教学研究会副理事长．

教学目的(1)了解归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力．

(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关自然数的命题．

教学过程

一、引入新课

师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样考虑的？

[提出问题，让学生在解答的过程中发现规律．]

生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线、5条对角线和9条对角线．以六边形为例，每个顶点可引3条，六个顶点可引18条，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线．

师：n边形(n≥4)有多少条对角线？为什么？

[由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程．]

师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？

[由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极性，增强了猜想的信心．]

生：适合．

师：观察等差数列的前几项：

a1=a1＋0d，a2=a1＋1d，a3=a1＋2d，a4=a1＋3d，你发现了什么规律？试用a

1、n和d表示an．

生：an=a1＋(n－1)d．

师：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法．用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律．但是，由归纳法得出的一般结论并不一定可靠．

例如，一个数列的通项公式是

an=(n2－5n＋5)2，请算出a1，a2，a3，a4．你能得到什么结论？

生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，可知an=1．

师：由an=(n2－5n＋5)2计算a5．

[由a5=25≠1，否定了学生的猜想．举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法．]

师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的．法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到22n＋1均为质数而推测：n为非负整数时，22n＋1都是质数，但这一结论是错误的．因为数学家欧拉发现，n=5时22n＋1是一个合数：

225＋1=4294967297=641×6700417．

[数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高．至此，归纳法作为一种发现规律的推理方法的教学已告结束．]

师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明．对于由归纳法得出的某些与自然数有关的命题p(n)，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

生：不能．因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证．

[新问题引导学生思考：既然对于p(n0)、p(n0＋1)、p(n0＋2)、„的正确性无法一一验证，那么如何证明p(n)(n≥n0)的正确性呢？至此，数学归纳法的引入水到渠成．]

二、新课

师：我们将采用递推的办法解决这个问题．同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推倒第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，„„如此传递下去，所有的骨牌都会倒下．这种传递相推的方法，就是递推．

从一个袋子里第一次摸出的是一个白球．接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？

生：能断定．

[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．]

师：要研究关于自然数的命题p(n)，我们先来看自然数有什么性质．自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1；如果知道了一个数，就可知道下一个数．有了这两条，所有自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了．类似地，我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题p(n)：先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明如果n=k(k≥n0)时命题正确，则n=k＋1时命题正确．只要有了这两条，就可断定对从n0开始的所有自然数．命题正确．这就是数学归纳法的基本思想．

[先通俗了解数学方法的基本思想，对深刻理解数学方法的实质至关重要！]

师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题p(n)的步骤是：

(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立，即验证p(n0)正确；

(2)假设n=k(k∈n，且k≥n0)时结论正确，证明n=k＋1时结论正确．即由p(k)

由(1)和(2)，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确．

这两步实质上是证明p(n)的正确具有递推性．(1)是递推的始点；(2)是递推的依据．

步骤(1)是一次验证，步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程．步骤②用的是演绎推理．

由(1)与(2)可知，递推的过程是：

正确→„

上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明p(n)正确性的过程．

[先明确步骤，然后在运用中加深理解数学归纳法的实质．]

师：用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1＋(n－1)d对一切n∈n都成立．

(证明由学生完成，并得出：

师：至此，对等差数列通项公式的“观察——猜想——证明”的研究结束．观察特例，归纳一般结论，用数学归纳法证明，这是解答有关连续自然数命题的有效途径．

下面，我们来看教材中的例题：证明

1＋3＋5＋„＋(2n－1)=n2．

请同学们自己完成，然后将自己的证明与教材中的证明对照，如发现错误，找出错误的原因．

师：用数学归纳法证明

1＋3＋5＋„＋(2n－1)=n2，如采用下面的证法，对吗？

(1)n=1时，通过验证，等式成立；

(2)假设n=k时等式成立，即

1＋3＋5＋„＋(2k－1)=k2．

则

1＋3＋5＋„＋(2k－1)+[2(k+1)-1]

这就是说，当n=k＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任何n∈n等式都成立．

生甲：证明是对的．

生乙：证明方法不是数学归纳法．因为第二步证明时，未用到归纳假设．

[指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法．]

师：从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．数学归纳法的核心，是在验证n取第一值n0正确的基础上，由p(k)正确证明p(k＋1)正确．也就是说，核心是证明命题的正确具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设

归纳假设，是用数学归纳法证题的关键．

[教师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械地套用两个步骤，而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系．]

师：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的．那么，没有第一步行吗？

[新的问题引起学生新的思索．]

生甲：第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确．其实，这是显然的，可以省略．

生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．

师：让我们举一个例子来看一下：

试问等式2＋4＋6＋„＋2n=n2＋n＋1成立吗？

设n=k时成立，即

2＋4＋6＋„＋2k=k2＋k＋1，则 2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)

=k2＋k＋1＋2k＋2=(k＋1)2＋(k＋1)＋1．

这就是说，n=k＋1时等式也成立．若仅由这一步就得出等式对任何n∈n都成立的结论，那就错了．事实上，当n=1时，左边=2，右边=3，左边≠右边．可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈n，该式都是不成立的．

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．

三、练习

四、小结

师：本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应掌握下列几个要点：

(1)数学归纳法证题的步骤：

①验证p(n0)成立；

②假设p(k)成立(k∈n且k≥n0)，推证p(k＋1)成立．

(2)数学归纳法的核心，是在验证p(n0)正确的基础上，证明p(n)的正确具有递推性(n≥n0)．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据．因此，两步缺一不可．证明中，恰当地运用归纳假设是关键．

(3)数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题．

(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．

(5)“观察——猜想——证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．

五、布置作业

略．

自我评述

(1)现行中学数学教材，主要是演绎推理的体系．对定理和公式，多偏重于证明，很少研究其发现过程．本节课第一次明确介绍归纳法，应充分利用教材提供的素材，通过实例，引导学生观察，在此基础上进行归纳推理．本节课利用“观察———归纳——证明”这一思维方法解答问题．对思路进行概括，有助于培养学生发现问题、解决问题的能力，也有助于培养学生创造思维的能力．

(2)在教学中，先通过实例，形象生动地说明数学归纳法的基本思想，然后讲解数学归纳法的两个步骤，最后揭示两个步骤的内在联系，逐步深入，使学生对数学归纳法的认识由表及里，深化理解．

(3)提出反例，说明运用数学归纳法没有第二步不行；再提出反例，说明没有第一步也不行．由此得到结论：两步缺一不可．构造反例，是否定命题正确的基本而重要的数学方法．

本节课针对学生仅从形式上运用数学归纳法的通病，设计出不用归纳假设进行论证的例子让学生找出错误的原因．这有助于学生从实质上理解数学归纳法，进而正确加以运用．

(4)教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪其智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学方法是，让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃．

本节课练中有讲，讲中有练，讲与练结合．在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括．在教师讲解新课中，又不断提出问题让学生解答和练习，以求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包办代替的做法．

PP T教程篇三

《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案

一、说教材

（一）教材分析

《数学归纳法及应用举例》是人教版高中数学选修2-2第二章第一节的内容,在整个高中数学知识体系中起到承上启下的作用.承上;前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。启下;数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容有利于培养学生严密的推理能力和抽象思维能力、为后续的学习奠定了基础.（二）教学目标

根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合高三学生的认知特点确定教学目标如下： 1.知识目标

（1）初步了解数学归纳法的原理与实质。

（2）理解和掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（3）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力，体会类比的数学思想。3.情感目标

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

（三）教学重难点

根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：

1.重 点；对归纳法意义的认知和数学归纳法的产生过程

2.难 点；对数学归纳法中递推思想的理解

二、说教学法

对认知主体—学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，本课将采用启发探究式教学方法

四、说教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安排如下：

（一）创设问题情景，引发感性认识 1.情景创设

情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，这里财主儿子用的就是“归纳法”。

情景二：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．

情景三；在数列{an}中，a1＝1, an1an1ana3，(n∈n*), 先计算a2，a4的值，再推测通项an的公式

2.通过生活中实际的例子回顾不完全归纳法，让学生在感性认识的基础上思考一下两个问题。

（1）像上述三个由有限多个特殊实例得出的一般结论一定正确吗？（2）既然由有限多个特殊实例得出的一般结论不一定正确，那我们是不是必需像情景二中的大徒弟那样“剥完全部的花生”才能得出结论呢？

3.教师启发学生观察、分析以上三个情景，由这两个问题的思考过程即可自然过渡到本节课重点内容—数学归纳法的产生过程

（二）类比数学问题,建立数学模型

1.多媒体演示多米诺骨牌游戏。

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

（1）第一块要倒下;（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。再举几个生活事例;推倒自行车,早操排队对齐等

2.启发学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究证明有关正整数命题的方法，概括出数学模型。（1）n取第一个值n0(例如 n0（2）假设 n=k(kn也成立。

满足这两个条件后，命题对一切nn*均成立。这种证明方法叫做数学归纳法．

（三）方法尝试

师生共同用探究出的方法尝试证明情景三的猜想

*1)时命题成立;,kn0)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题 在证明过程中应充分暴露“猜想——证明”的数学思想，明确“假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立”的这一证明目标，启发学生利用已有假设来进行推理，使学生意识到要证明n=k+1时等式成立，就必须要用n=k时等式成立这一假设。

（四）基础反馈练习，巩固认知结构

例 1 用数学归纳法证明：135(2n1)n2

本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。

教师主要引导学生参与讨论的内容是： 1 当nk1时，证明的目标是什么？

2 要证明nk1时等式成立，要用到哪一个条件？ 例2.首项是a1，公比为q的等比数列的通项公式是a该例完全由学生自主完成(五）小结（师生共同完成）

小结主要以问题串的形式展开，内容包括

1本节课的中心内容是数学归纳法，这是一种科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。

2用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可

3证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标，并且一定要利用假设。

4 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、1a1qn1 分类思想、归纳思想。

（六）布置作业

本课作业分为a组题和b组题，a组题为必做题，b组题为能力提升题，这样的安排可以照顾到不同发展水平的学生，切实落实因材施教的教学原则。

PP T教程篇四

《数学归纳法及其应用举例》教案

教学目标：

1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。

3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

教学重点：

了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。

教学难点：

数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。

教学过程：

一．创设情境，回顾引入

师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？

生：因为有姓“万”的。

师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？

生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）

师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？

生：有。例如等差数列通项公式的推导。

师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，„„归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？

生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）

像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？

生：（齐答）可靠。

师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。

师：是不可靠的。不妨再举一例ann1n2n3n1000容易验证a10，a20，a30，„，a10000，如果由此作出结论——对于任何nn*，ann1n2n3

1 n10000都成立，那就是错误的。事实上，a10011000!0。

二．设置问题，引导探究

师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？ 生：（没）玩过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？

生：假设第kkn*张骨牌倒下，保证第k1张骨牌倒下。

师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？

生：不是。我们不知道第k张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k张骨牌倒下。若第k张骨牌倒下，需要第k1张骨牌倒下；若第k1张骨牌倒下，需要第k2张骨牌倒下，„„，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。

师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？ 生：是。

师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k张骨牌倒下，第k1张骨牌一定倒下。

现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？

生：n1时结论正确n2时结论正确n3时，结论正确，nk时结论正确nk1时结论正确

师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？ 生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确。

师：这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗？ 三．解决问题，引出概念（学生共答，教师板书）

证明：（1）当n1时，左边a，右边a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？

生：ak1a1(k1)1d。

师：哦！看来nk1时等式也成立，这样做对吗？ 生：（齐答）不对。

师：注意在证nk1时，一定要用到归纳假设，nk时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么ak1与ak有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？

生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立„„所以n取任何正整数等式都成立。

2 师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？

生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kn*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？ 生：递推思想。

师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。（此时投影上注明）

师：这两步可以缺少哪一步吗？ 生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。

师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。）

练习：用数学归纳法证明：

1．123n1nn1。22．12222n12n1。

3．首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1。

四．归纳小结，深化主题

师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？

生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。）（投影展示）小结：

不完全归纳法1．归纳法

完全归纳法特点：特殊→一般

2．数学归纳法概念及证题步骤。3．数学归纳法实质是递推思想。五．布置作业： p76 1，2

3 《数学归纳法及其应用举例》教案说明

一、数学归纳法的地位与作用

1．数学归纳法在教材中的地位与作用

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

2．数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递 归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

二、数学归纳法的本质与教学目标定位

数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

三、学法、教法特点及预期效果

1．学法指导

高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。但不足的是，学生考虑问题的全面性及课堂气氛的活跃性还不够好。为此，根据教育学家奥苏伯尔关于学科和认知结构组织的假设及其“先行组织者”技术与美国心理学家布鲁纳倡导的发现法教育理论，在学法方面我采用“导—思—点拨—练”的学习过程，让学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。在这个过程中对学生进行以下学法指导。

（1）温故知新法

引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程，从而引出归纳法的概念，其又分为完全归纳法和不完全归纳法，如何验证等差数列通项公式的正确性呢？进而引出数学归纳法。

（2）体验感悟法

让学生认真观看多米诺骨牌实验，从而感悟数学归纳法原理。（3）质疑法

引导学生主动质疑，解决问题，得到方法。（4）练习法

通过类比，练习用数学归纳法证题，进一步体会数学归纳法原理。2．教学特点

4 本节课在教法上贯彻如下两个原则：

一是建构主义原则。学生是教学的主体，学生学习数学是一种再创造过程，他们通过吸收与融合原知识的过程来建立理解的层次结构。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明及多米诺骨牌实验引导学生积极主动的进行建构。

二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以吸引学生喜欢数学，自觉地学习数学，以调动学生的“心理场”。比如，通过讲员外儿子学写数字，引进了归纳法的概念，同时学生也体会到通过观察、归纳、猜想一些结论，是很好的一个思维流程，但其结果不可靠。通过多米诺骨牌玩法的演示，诠释了递推思想。

3．预期效果

通过学法指导，教法特点实现三重目标。

四、教学诊断与评价

1．教学诊断

证明数学归纳法的第一步是容易实现的，第二步是重点也是难点，在验证nk1命题的正确性时，极易脱离归纳假设，为此应重申递推思想，总结出证题技巧“一凑假设，二凑结论”。

2．教学评价

整个教学设计重点突出，层次分明，环环紧扣，温故知新。抓住知识的内在联系，教师处处启发学生自己主动去获取知识，使教师的主导作用和学生的主体作用得以充分发挥，体现了素质教育的指导思想。生活事例贯穿整个教学过程，使数学知识人文化，使抽象的问题具体化，调动了学生学习的积极性、主动性。使学生学有所得，学有所用，进一步激发了学生学习的兴趣，培养了学生科学的思维态度。

PP T教程篇五

六年级数学上册比的应用教案

教学内容：

课本第49页例2，教学目标：

1、理解按一定比来分配一个数的意义。

2、掌握按比例分配应用题的特征和解题方法。 重难点、关键： 重难点：

1、理解按一定比来分配一个数量的意义。

2、根据题中所给的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能熟练地用乘法求各部分量。 关键：运用所学知识解决实际问题。教学准备： 课件

教学过程：

一、导入新课：

王叔叔和李叔叔合开一个杂货店，王叔叔投资了3万元，李叔叔投资了4万元，店一开张，生意特别好，年底净赚了14万元，年底分红时，他们各分得了7万元。你觉得这样平分合理吗？ 在日常生活、工作和生产常会遇到不是平均分的问题，今天我们来学习生活中常用的一种分配方法，按比例分配。（板书：按比例分配）

二、探索新知

1、出示例题：

某种清洁剂浓缩液和水按1：4的比可以配制成稀释液，如果配制500ml的稀释液，其中浓缩液和水各有多少毫升？（1）学生认真读题，弄清题意。

（2）说一说1：4表示什么？从中你可以得到哪些信息？ 学生回答，教师板书：

①水的体积是浓缩液的4倍；

②浓缩液的体积是水的四分之一 ； ③水的体积占稀释液的五分之四 ； ④浓缩液的体积占稀释液的五分之一。

（3）解决问题需要哪些信息？你想怎样解答？

小组讨论，交流一下你的想法，有不同的方法都可以写下来。师巡视辅导 先画线段图：（板书）学生可能的解答方法是： 方法一：每份是：500÷（1+4）=100(ml)

浓缩液：100×1=100(ml)

水：100×4=400(ml)

追问：（引导提问：稀释液是几份的数？“5”是怎样得出的？）为什么要“÷（1＋4）”？

方法二：稀释液的份数：1+4=5

浓缩液：500×

1 =100（ml）

5水：500×

4 =400(ml)5答：略。

2、练习：六一班和六二班订《少年科学》的人数比是3：4，两个班共订49份。两个班各订了多少份？

3、小结解按比例分配应用题的方法：先求总份数，再求各部分占总量的几分之几，最后

用总量乘各部分占总量的几分之几，求出各部分量。