2025年三角不等式的证明 基本不等式的证明五篇(通用)
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2025年三角不等式的证明 基本不等式的证明五篇(通用)
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三角不等式的证明 基本不等式的证明篇一
2013年数学vip讲义
【例1】 设a，b∈r，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。
【例2】 已知0
【例3】 设a=a+d，b=b+c，a，b，c，d∈r+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较a与b的大小。
因a、b的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。
由ad=bc得：dbca1abbccaabcabc≥1。
bcabcab(ab)(ac)a0bcacaa-b=a+d-(b+c)=a =ab c(ab)a
【例4】 a，b，c∈r，求证：a4+b4+c4≥(a+b+c)。
不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。
左=12(2a42b2242c)22412[(a24b)(b22244c)(c2244a)]24
≥12(2ab2bc2ca)abbcca
2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。
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第1页/共9页 金牌师资，笑傲高考
ab1212
2013年数学vip讲义
22bc2222ca2222212(2ab22222bc22222ca)22
ca)(ca2[(abbc)(bc22ab)]22≥(2abc2abc22abc)ab(abc)1a
1c【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：（2）a，b，c为正实数，求证：
a21bb2≥
c21ab1bc1ac；
bcacab≥
abc2。
（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。
（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？
a2bcb2(bc)≥2a2bcb2(bc)2a
acc2(ac)≥2ac(ac)2bab(ab)≥2c2ab(ab)2c
相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。
a2bcbc4≥a，b2acac4≥b，c2abab4≥a 相向相加后即可。
【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥
2a22。
思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。∵ xy22≤2x2y22
2∴ xy≥(xy)2a22
思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：
途径1：用均值换元法消元： 令 x2a2m，yaa22m
22则 xy(m)(m)2m222aa22≥
a22
途径2：代入消元法： y=a-x，0
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