2025年不等式的若干证明方法(4篇)

2023-04-03 00:00:00 小编：Darcy大发

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不等式的若干证明方法篇一

（二）一、知识回顾

1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；

2、放缩法：欲证ab，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，常用的放缩方式： bb1,b1b2...a（或aa1,a1a2...b）舍去或加上一些项；

12nnn1；12nn1n；111

1;22nn(n1)nn(n1)

3、换元法：三角换元、代数换元；

4、判别式法

二、基本训练：

1、实数a、b、c不全为零的条件为（）

a)a、b、c全不为零

b)a、b、c中至多只有一个为零 c)a、b、c只有一个为零

d)a、b、c中至少有一个不为零

2、已知a、b、c、dr，sabcd，则有（）

abcabdcdacdba)0sb)1s2

c)2s

3d)3s4

3、为已知x2y24，则2x3y的取值范围是________。

4、设x0、y0，axyxy,b，则a、b大小关系为________。

1xy1x1y5、实数xxy，则x的取值范围是________。y13

3三、例题分析：

例

1、x＞0，y＞0，求证：xy(xy)

例

2、函数f(x)1x2(ab)，求证：|f(a)f(b)||ab|

例

3、已知:a2b21,x2y21,求证:1axby1（三角换元法）

例

4、求证：1x11（判别式法）

x2x1322

3例

5、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

例

6、求证：1

例

7、设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cr且a0)，若函数yf(x)的图象与直线yx和yx均无公共点。

1.4（反证法）

1112(nn)（放缩法）22223n（1）求证：4acb21

（2）求证：对于一切实数x恒有|ax2bxc|

四、课堂小结：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.五、同步练习不等式证明方法

（二）1、若x2xyy21且x、yr，则nx2y2的取值范围是（）4|a|a)0n

1b)2nc)nd)2n2 32、已知a、br，则下列各式中成立的是（）

a)acosbsin22ab

b)acosbsin22ab

c)cos2lgasin2lgblg(ab)

d)cos2lgasin2lgblga(b)

3、设,y∈r,且x2+y2=4,则a)2-

24、若f(n)=

2xy的最大值为（）

xy2b)2+2 c)-2 d)4 3n21-n,g(n)=n-n21,φ(n)=

1,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为2n____________.5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.6、a、b、c∈r-，a≠b，求证：|ab|a2abb2a2b

2111 abbcac（提示：换元法，令a－b=m∈r＋，b－c=n∈r＋）

111112221

8、若nn，且n2，求证：2n123n7、a＞b＞c，求证：

|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于

9、已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，1。2

答案：dcb

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

不等式的若干证明方法篇二

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)

不等式的一些证明方法

[摘要]：不等式是数学中非常重要的内容,不等式的证明是学习中的重点和难点,本文除总结不等式的常规证明方法外,给出了不等式相关的证明方法在具体实例中的应用.[关键词] 不等式;证明;方法；应用

不等式在数学中占重要地位,由于其本身的完美性及证明的困难性,使不等式成为各类考试中的热点试题,证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中常用的方法有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.因而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,故本文对不等式的证明方法进行一些探讨总结.一、中学中有关不等式的证明方法 1.1中学课本中的四种证明方法 1.1.1理清不等式的证明方法

（1）比较法：证明不等式的基本方法,适应面宽.①相减比较法—欲证ab,则证ab0.②相除比较法—欲证a>b（a>0,b>0）,则证>1.（2）综合法：利用平均不等式、二次方程根的判别式、二项式定理、数列求和等等。此方法灵活性大,需反复练习.（3）分析法：当综合法较困难或行不通时,可考虑此法,但不宜到处乱用.第1页（共13页）

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)（4）数学归纳法：凡与自然数n有关的不等式,可考虑此法,但有时使用起来比较困难,应与前面几种方法配合应用.1.1.2选择典型范例,探求解题途径

例1.1.1 求证 12x42x3x2

分析用相减比较法证明ab0.一般应将ab变形为[f(x)]

2、（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同号）,或变形为多个因子的[f(x)]2[g(x)]

2、乘积、平方式.本题可化为两个完全平方式的和或化为一个完全平方式与一个正因式的积.证： 2x42x3x212x3(x1)(x1)(x1)

(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)

132(x1)2[(x)2]

442x42x3x210

当xr时，即 12x42x3x2

例1.1.2 证明 n(n1)n1....(n1).分析题中含n,但此题用数学归纳法不易证明,通过变形后可采用平均不等式来证.11111(11)(1）（1)23n2n nn34n12n>n23.4...n1=nn1（再变形）=2323nn11111n1....(11)(1)....(1)23n2n

证：

nnn11n12131n第2页（共13页）

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)

2 1n34n1....23nn234....n1nn1

n23n131n所以 n(n1)n1....

例1.1.3 求证：

1112+

11+„+>n(n1,n为自然数)2n 分析与自然数有关的问题,可考虑用数学归纳法.设nk时成立,需证nk1时也成立,需证明k+k+

1>k1,可采用“凑项”的方法： k1kk11kk1k11=>==k1

k1k1k1k1111221222,右边2,所以, 2 证：(1)当n2时,左边左边右边.(2)假设nk时, 1111+

11+„+>k成立,则当nk1时, 2k+

1111+„++ k+