无论是身处学校还是步入社会，大家都尝试过写作吧，借助写作也可以提高我们的语言组织能力。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？下面我给大家整理了一些优秀范文，希望能够帮助到大家，我们一起来看一看吧。

归纳法证明不等式成立篇一

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cr且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zr.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cr，pr，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式a≤b，我们找一个(或多个)中间量c作比较，即若能断定a ≤c与c≤b同时成立，那么a≤b显然正确。所谓的“放”即把a放大到c，再把c放大到b，反之，所谓的“缩”即由b缩到c，再把c缩到a。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。

归纳法证明不等式成立篇二

不等式证明方法大全

1、比较法（作差法）

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

abab。例

1、已知：a0，b0，求证：

2ababab2ab(ab)2

ab。证明：ab0，故得22222、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例

2、求证：71。

证明：要证571，即证122162，即2，35194，416，4，1516，由此逆推即得571。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

ab例

3、已知：a，b同号，求证：2。ba

证明：因为a，b同号，所以abababab0，0，则22，即2。babababa4、作商法（作比法）

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助

商——变形——判断（大于1或小于1）。

例

4、设ab0，求证：aabbabba。

aaabba证明：因为ab0，所以1，ab0。而bababbabaa1或1来判断其大小，步骤一般为：作bb1，故aabbabba。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例

5、已知ab0，n是大于1的整数，求证：ab。证明：假设a，则bb1，即1，故ba，这与已知矛盾，所以a。aa6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例

6、已知：求证： a1b1a2b2anbn1。a1a2an1，b1b2bn1，证明：因为a1a2an1，b1b2bn1，所以a1a2an1，b1b2bn1。由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn111，所以原不等

22222

2222222

式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

1359999

0.01。例

7、求证：

***

证明：令p，则

24610000

***32999921

1p222，222

22461000021411000011000110000

所以p0.01。

8、数学归纳法

对于含有n(nn)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nn)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对

n取第一个值以后的自然数都能成立。

例

8、已知：a,br，nn，n1，求证：anbnan1babn1。证明：（1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；（2）若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(akbk)abkbk1a(ak1babk1)abkbk

1=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk，即ak1bk1akbabk成立。

根据（1）、（2），anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例

9、已知：abc1，求证：abbcca。

1证明：设at，bat(tr)，则c(1a)t，33

3111111

abbccatatat(1a)tt(1a)t

33333311

(1aa2)t2（因为1aa20，t20），33

所以abbcca。



10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例

10、已知：a2b21，x2y21，求证：axby1。证明：设asin，则bcos；设xsin，则ycos 所以axbysinsincoscoscos()1。

11、判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例

11、设x,yr，且x2y21，求证：yaxa2。证明：设myax，则yaxm

代入x2y21中得x2(axm)21，即(1a2)x22amx(m21)0 因为x,yr，1a20，所以0，即(2am)24(1a2)(m21)0，解得ma2，故yaxa2。

12、标准化法

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

；当x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)的值越大（或不变）

x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinn

x1x2xn。

n

ab。

2标准化定理：当a+b为常数时，有sinasinbsin2证明：记a+b=c，则

f(a)sinasinbsin2

abc

sinasin(ca)sin2，22

求导得f`(a)sin(c2a)，由f`(a)0得c=2a，即a=b 又由f``(a)cos(ba)0知f`(a)的极大值点必在a=b时取得 由于当a=b时，f`(a)0，故得不等式。同理，可推广到关于n个变元的情形。

abc

1sinsin。2228abc11

证明：由标准化定理得，当a=b=c时，sinsinsin，取最大值，故

22228

abc1sinsinsin。2228

例12、设a，b，c为三角形的三内角，求证：sin13、等式法

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为abc的三边长，求证：

2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

证明：由海伦公式sabc其中p

(abc)。

2两边平方，移项整理得

p(pa)(pb)(pc)，16(sabc)22a2b22a2c22b2c2a4b4c4 而sabc0，所以2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。

14、函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例

14、设xr，求证：4cos2x3sinx2。

831

证明：f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx

248当sinx

31时，f(x)取最大值2； 48

当sinx1时，f(x)取最小值－4。

故4cos2x3sinx2。

815、单调函数法

当x属于某区间，有f`(x)0，则f(x)单调上升；若f`(x)0，则f(x)单调下降。推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f`(x)g`(x)即可，x[a,b]。

例15、0x，求证：sinxxtanx。

2证明：当x0时，sinxxtanx0，而



(sinx)`cosx1x`sec2x(tanx)` 故得sinxxtanx。

16、中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f`()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的。

例

16、求证：sinxsinyxy。

证明：设f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin`(xy)cos 故sinxsiny(xy)cosxy。

17、分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

1例17、n2，且nn，求证：1n(n11)。

23n

证明：因为1

111111

n(11)111 23n23n

2

所以1

34n134n

1n2nn1 23n23n

n(n11)。23n18、构造法

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明

快、以巧取胜的目的。

例

18、已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2。证明：依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以z1z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(x2y2)2axyimz1z2z1z2

2

故b(x2y2)2axy2。

19、排序法

利用排序不等式来证明某些不等式。

排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

其中t1,t2,,tn是a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn，1,2,,n的一个排列。当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号。

简记作：反序和乱序和同序和。

例

19、求证：a2b2c2d2abbccdda。

证明：因为a,b,c,dr有序，所以根据排序不等式同序和最大，即

a2b2c2d2abbccdda。

20、几何法

借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。

ama

。例20、已知：a,b,mr，且ab，求证：

bmb

证明：以b为斜边，a为直角边作rtabc

延长ab至d，使bdm，延长ac至e，使edad，过c作ad的平行线交de于f，则abc∽ade，令cen，aabam

所以

bacbn

amama

。又cecf，即nm，所以

bmbnb

e

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（cauchy）不等式、琴生（jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（lli）不等式、赫尔德（o.hölder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（ski）不等式等，这里不再烦述了。

在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

归纳法证明不等式成立篇三

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：

放缩法证明不等式

【教学目标】

1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。

2.能够利用放缩法证明简单的不等式。

【重点、难点】

重点：放缩法证明不等式。

难点：放缩法证明不等式。

【学法指导】

1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；

2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

3.预习p18—p19,【自主探究】

1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不

等式的方法称为放缩法。

2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。

②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分

式值增大。

如当(kn,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。

【合作探究】

证明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga

(a1)1111...2(nn)2222123nloga(a1)1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求证

xyz

（4）已知n

n，求证：1

【巩固提高】

已知a,b,c,d都是正数，s

【能力提升】

求证: ...abcd求证:11aba

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