每个人都曾试图在平淡的学习、工作和生活中写一篇文章。写作是培养人的观察、联想、想象、思维和记忆的重要手段。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？这里我整理了一些优秀的范文，希望对大家有所帮助，下面我们就来了解一下吧。

证明函数连续且可导篇一

函数连续性

有关知识：

（1）连续与间断的概念及间断点分类．

（2）闭区间上连续函数性质及应用（中间值存在性证明及方程根存在性证明）．（3）f(x)在x0处连续f(x)在x0处既左连续又右连续．

例1：设f(x)在(0,1)内有定义，且函数exf(x),ef(x)在(0,1)内都是单增函数，证明f(x)在(0,1)内连续．

分析：欲证f(x)在x0(0,1)处连续，需证左，右都连续 证明：对x0(0,1)，由题设知当x(x0,1)时，有

e所以 ex0xx0f(x0)exf(x),，ef(x0)ef(x)

f(x0)f(x)f(x0)

xx0f(x)f(x0)，即f(x)在x0处右连续 令xx0，由夹逼定理得lim类似地，可证f(x)在x0处左连续，于是得结论．

例２：设f(x)在[a,b]上连续，且对x[a,b]，存在y[a,b]，使得|f(y)|证明：至少存在一点[a,b]，使得f()0． 分析：初一看无处下手，此时可试一试反证法。

证明：若对x[a,b]，f(x)0，则f(x)在[a,b]上恒正或恒负，不妨设f(x)0,x[a,b]，则x0[a,b]，使得 f(x0)minf(x)m0

x[a,b]1|f(x)|，2对此x0，存在y，使得 f(y)|f(y)|从而得出矛盾．故结论成立．

1m|f(x0)| 22例３设f是定义在一个圆周上的连续函数，证明存在一条直径，使得f在直经的两端取相同值． 分析：首先要将问题用数学语言表达，设圆周的圆心为o，取圆周上一点a，b为圆周上任一点，记aob,[0,2]，则该问题用数学语言表达为：

已知f()在[0,2]上连续，且f(0)f(2)，求证存在0[0,]，使得f(0)f(0)． 此问题的证明不困难：

pageof 3 令f()f()f()，则f(0)f()0，从而由连续函数的性质知 0[0,]，使得

f(0)0，即可得结论．

或 令f()f()f()，则f(0)f()0，从而由连续函数的性质知

0[0,]，使得

f(0)f(0)f()0，即可得结论．

2或 可用反证法证明，请同学们完成。

由闭区间上的连续函数的性质推得的两个结论是可以直接用的：

（1）设f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为m和m，则f(x)在区间[a,b]上的值域为[m,m]。

（2）设f(x)在区间[a,b]上连续，则对任意的x1,x2,,xn[a,b]，存在[a,b]，使得1nf()f(xi)。

ni1练习题

x2n1ax2bxb_______1．设f(x)lim 为连续函数，则a_______,．

nx2n1(答案:０，１)11２．求f(x)x1x的间断点，并确定其类型．

11x1xexbx1为可去间断点，３．设f(x)，且已知xe为无穷间断点，则b_______．

(xa)(xb)(答案:ｅ)

４．设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且对x,y(a,b)，有

f(xyf(x)f(y)) 22 证明：f(x)在(a,b)内连续．

（任取 x0(a,b)，由题设有f(xx0f(x)f(x0))，令xx0，可得 22pageof 3

f(x00)f(x0)，令xx0，可得f(x00)f(x0)；

又f(x0)f(x0hx0hf(x0h)f(x0h))，令h0，可得

22f(x00)f(x00)2f(x0)，所以有 f(x00)f(x00)f(x0)）

５．设f(x)在(,)内连续，且limf(x)，f(x)的最小值f(a)a，求证f(f(x))x至少在两个不同的点处取得它的最小值．

（易见 f(f(x))的最小值为f(a)，故只需证存在x1x2，使得f(x1)f(x2)a）６．设f(x)在(,)内连续，且f(f(x))x，求证存在一点，使得f()．（用反证法证明）

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证明函数连续且可导篇二

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.

设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为r上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域d上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在d上连续.（共12页）第1页

5.求lim(

2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim(

ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且an，求a的值，(1ex)

16.

求n(a0).n

17.

求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.

求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为t(t0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1tt0f(t)dt.30.求lim1

1n0

(1x)n

n

31.设lim(

1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.

判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

a，试证：f(0)=a.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点a(a,f(a))与b(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于c(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.

41.

设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.

设f(x(0x

),求f(x).43.

设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.



50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共