无论是身处学校还是步入社会，大家都尝试过写作吧，借助写作也可以提高我们的语言组织能力。大家想知道怎么样才能写一篇比较优质的范文吗？以下是我为大家搜集的优质范文，仅供参考，一起来看看吧

重要极限证明 e篇一

复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。

其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即

(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。

两边令z＝1，并取模，则：

|1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*)因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：

2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n＋1。

所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数

求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1)则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n)2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜...(1)又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2)|1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1))+sin(2kπ/(2n+1)))| =|1-cos(2kπ/(2n+1)))-sin(2kπ/(2n+1)))| =√((1-2cos(2kπ/(2n+1))+cos^2(2kπ/(2n+1)))+ sin^2(2kπ/(2n+1)))=√(2-2cos(2kπ/(2n+1)))=√(4sin^2(kπ/(2n+1))=2sin(kπ/(2n+1)故

2n+1 =(n(π/(2n+1)).n(2π/(2n+1))n(3π/(2n+1))........n(2nπ/(2n+1))两边开方,得

sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n+1)/ 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下.3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)= cos [π／n-π／(2n)]-cos [π／n +π／(2n)]= cos [π／(2n)]-cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n)= cos [2π／n-π／(2n)]-cos [2π／n+π／(2n)]= cos [3π／(2n)]-cos [5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)= cos [3π／n-π／(2n)]-cos [3π／n +π／(2n)]= cos [5π／(2n)]-cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]= cos [(n-1)π／n-π／(2n)]-cos [(n-1)π／n +π／(2n)]= cos [(2n-3）π／(2n)]-cos [(2n-1)π／(2n)] 故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝= cos [π／(2n)]-cos [(2n-1)π／(2n)]= cos [π／(2n)]-cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)] 故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]= cos[π／(2n)]/ sin [π／(2n)]= cot [π／(2n)]

4.级数sin n/(n+1)收敛还是发散,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛,为什么? sol:收敛,的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0,收敛.不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用dirichlet判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛,但级数1/(n+1)发散,lnc1n...lncn求limi.2xn2nnlnonlncnlnc1...lncnnln2lnnln21lnnnnsol: n2n2nni=ln2

5.求sinπ/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值,用复数思想

6.三角函数连乘(正弦)求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n sol: 7.证一般项级数∑sin√(n^2+1)π条件收敛 sol:∵sin√(n²+1)π

=[(-1)^n]sin[√(n²+1)π-nπ] =[(-1)^n]sin[√(n²+1)-n]π =[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π

lim(n→∞)[sin{1/[√(n²+1)+n]}π]/(1/n)=lim(n→∞)nπ/[√(n²+1)+n] =π/2 ∴∑sin{1/[√(n²+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性,即∑sin{1/[√(n²+1)+n]}π发散

lim(n→∞)sin{1/[√(n²+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n²+1)+n]}π

由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π收敛 ∴原级数条件收敛

其他回答:sin√(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n])利用 dirichlet判别法可知级数收敛。

而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。(π/n)×sin(2π/n)×sin(3π/n)×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)这等式怎么证?大概要从哪个方面入手? sin(π/n)×sin(2π/n)×sin(3π/n)×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)用复数

w=cos(2π/n)+isin(2π/n)w=cos(2π/n)-isin(2π/n)z^n=1(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0 z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)）令 z=1 n＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)取模

|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))| |n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))| n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]

得证

重要极限证明 e篇二

两个重要极限的证明第六节 极限存在准则、两个重要极限

教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课：

准则i：如果数列 满足下列条件：(i)对;(ii)那么，数列 的极限存在，且。证明：因为，所以对，当 时，有，即，对，当 时，有，即，又因为，所以当 时，有，即有：，即，所以。

准则i′如果函数 满足下列条件：(i)当 时，有。(ii)当 时，有。

那么当 时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：

作为准则i′的应用，下面将证明第一个重要极限：。证明：作单位圆，如下图：

设 为圆心角，并设 见图不难发现：，即：，即，(因为，所以上不等式不改变方向)当 改变符号时，及1的值均不变，故对满足 的一切，有。又因为，所以 而，证毕。【例1】。【例2】。【例3】。【例4】。

准则ⅱ：单调有界数列必有极限

如果数列 满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

如果，使得：，就称数列 为有上界;若，使得：，就称 有下界。准则ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。2：准则ⅱ，ⅱ′，ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。第二个重要极限：

作为准则ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。先考虑 取正整数时的情形： 对于，有不等式：，即：，即：(i)现令，显然，因为 将其代入，所以，所以 为单调数列。(ii)又令，所以，即对，又对 所以{ }是有界的。

由准则ⅱ或ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即 注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数。

重要极限证明 e篇三

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,xn-x(n-1)=/2

且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

例5例6例7

重要极限证明 e篇四

极限证明-证明范文

第一篇：极限证明 极限证明

1.设fx在??,??上无穷次可微，且fx??xnn???，求证当k?n?1时，?x，limfkx?0． x??? 2.设fx??0sinntdt，求证：当n为奇数时，fx是以2?为周期的周期函数；当n为

偶数时fx是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x fnx?0．?{xn}?3.设fx在??,??上无穷次可微；f0f?0?0xlim求证：n?1，??? ?n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．

sinf(x)?1．求证limfx存在． 4.设fx在a,??上连续，且xlim???x??? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n 7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若??? af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收

敛。

?,n?1,2,?.求

证

：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

?? ?r?0?.i ?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r?? d r 17.设f?x?于[a,??)可导，且f?x??c?0?c为常数?,证明： ?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim ana?.n???bbn ?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.x?x0 20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理? ??a 23.设? fx= 0.证明xlimfxdx收敛,且fx在?a,???上一致连续，??? 24.设a1 0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;27.设an?a,用定义证明:limn???an?a 28.设x1?0，xn?1? 31?xn ,n?1,2,?，证明limxn存在并求出来。

n??3?xn ?? 29.用“???语言”证明lim30.设fx? x?2x?1 ?0 x?1x?3 x?2，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1 n?? 1，2，?，求证：limxn?2。

31.设fnx?cosx?cos2x???cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fnx?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；

（b）设xn?[0,1/3)是fnx?1的根，则limxn??/3。n?? 32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使

limfxn?an??及limfyn?bn??，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limfzn?? 33.设函数f在[a,b]上连续，且 f?0,记fvn?fa?v?n,?n? ?exp{ b?a，试证明：n 1b lnfxdx}n??并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? ? 2? ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1 fb?fa

?k b?a 34.设f‘0?k,试证明lim a?0?b?0? 35.设fx连续，?x??0fxtdt，且lim x?0 论?x在x?0处的连续性。fx，求?x，并讨?a（常数）x 36． 给出riemann积分?afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1 lim?s。n??ni?0n ?x322 ,x?y?0?2

37.定义函数f?x???x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0 f?2x??f?x??a,求证：f?0?存在且等于a.x 1n 40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1 41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f?x??0,f有界，则limt??f?t??0 42.用???分析定义证明limt??1

x?31 ? x2?92 43.证明下列各题

?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛； n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n?? n?1 ? ?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1? a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,n??,证 limn

n?? ? 46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕 limf（x）存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2 x2＋f（x）? 47.已知数列{an}收敛于a，且

a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于a n 48.若f?x?在?0,???上可微，lim n?? fx ?0，求证?0,???内存在一个单

x??x 调数列{?n}，使得lim?n???且limf??n?0 n?? x??e?sinx?cosx?,x?0 49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0 第二篇：极限的证明

极限的证明利用极限存在准则证明： 1当x趋近于正无穷时，inx/x 的极限为0;2证明数列{xn}，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则: x大于1时,lnx 0,x 0,故lnx/x 0 且lnx1),lnx/x x-1/x.而x-1/x 极限为0 故inx/x 的极限为0 2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0 √a时,xn-xn-1=/2 0,单调递减

且xn=/2 √a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0 √a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ 一时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质3学时

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”

二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 注意前四个极限中极限就是函数值

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1利用极限和

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 第三篇：数列极限的证明

数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会 |xn+1-a| |xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a| |xn-1-a|/a;

|xn-1-a| |xn-2-a|/a;…… |x2-a| |x1-a|/a;向上迭代，可

以得到

|xn+1-a|

|xn-a|/a

2 只要证明{xn}单调增加有上界就可以了。用数学归纳法： ①证明{xn}单调增加。x2=√=√5 x1;设xk+1 xk，则

xk+2-xk+1)=√-√分子有理化 =/【√+√】 0。②证明{xn}有上界。x1=1 4，设xk 4，则 xk+im=0 n→∞(2lim=3/2

n→∞ 3lim=0 n→∞

4lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。lim就省略不打了。。n/n +1=0 √n +4/n=1 sin1/n=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则不知楼主学了没，没学的话以后会学的第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin1/n=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀

limn/n +1=lim1/n/1+1/n =lim1/n/1+lim(1+n =0/1=0 lim√n +4/n=lim√1+4/n =√1+lim4/n =√1+4lim1/n =1 limsin1/n=lim=lim1/n*lim/1/n=0*1=0 第四篇：函数极限的证明

函数极限的证明一时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质3学时

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”

二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 注意前四个极限中极限就是函数值

这些极限可作为公使用，即刻完成写稿任务。下载全文：

重要极限证明 e篇五

两个重要的极限

1．证明：lim

sinxx

x0

1

证明：如图（a）作单位圆。当0

12x

2

时，显然有δoad面积

xsinx



1cosx

tgx，sinx

2

或1

sinxx

cosx

2

x0

时也成立。

图（a）

故（1）式对一切满足不等式0|x|的x都成立。

sinxx

1。

由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim

x0

x0

函数f(x)=

sinxx的图象如图（b）所示。

2．证明：lim(1)n存在。

n

n

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有

b

n1

图（b）

n1

a

n1

ba

(n1)b或b

n

n1

a

n1

(n1)b(ba)，整理后得不等式a

n（1）b[(n1)anb]。

n

令a=1+故有(1

1n1)

n1，b=1+

1n)

1n

n，将它们代入（1）。由于(n1)anb(n1)(1

1n1)n(1

1n)1，n1

(1

12n，这就是说{(1)n}为递增数列。

n

12n)

再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n1)anb(n1)n(1

12n)

2n，故有1(1

12n)

n，2(1

12n1n)

n。

不等式两端平方后有4(1，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列{(1)n}

是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1)n是存在的。

n

n

3．证明：lim(1)xe。

x

x

证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：

x

lim(1

1x)e

x

（1）

x

lim(1

1x)e

x

（2）

现在先应用2中数列极限lim(1)ne，证明（1）式成立。

n

n

设n≤x

1n1

1

1x

1

1n

及(1

1n1)

n

1n1)(1

n

1x)(1

x

1n)

n1，（3）

作定义在[1，+)上的阶梯函数。f(x)(1，n≤x

n

由（3）有f(x)

x

x

n

11n1

(1)lim

n

n

n1

11

n)

n1

e

xlimg(x)lim(1n1n)n1lim(1n1n)(1n1

n)e，根据迫敛性定理便得（1）式。

y)y现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1)x(1x(11

y1)(1y1

y1)y1(11

y1)

因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1)xe。

x1x

以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1a)ae a0

1x（4）1

a0因为，令a1x，则x→∞和a→0是等价的，所以，lim(1)lim(1a)a。xx

重要极限证明 e篇六

两个重要极限的证明

两个重要极限的证明

那么，数列 的极限存在，且。证明：因为，所以对，当 时，有，即，对，当 时，有，即，又因为，所以当 时，有，即有：，即，所以。

准则i′如果函数 满足下列条件： 当 时，有。当 时，有。

那么当 时，的极限存在，且等于。如果数列 满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

如果，使得：，就称数列 为有上界;若，使得：，就称 有下界。

准则ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

2：准则ⅱ，ⅱ′，ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。

【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习： 三、布置作业：

附送：

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